‫پروژه حل عددی تائو معادلات انتگرال-دیفرانسیل ولترا با پایه های دلخواه از چند جمله ای ها

چکیده

هدف از این مقاله بررسی روش تائو با پایه های چند جمله ای دلخواه برای یافتن معادلات  انتگرال –دیفرانسیل ولترا(VIDES)است.قسمت  های دیفرانسیل و انتگرال این معادلات توسط نمادهای علمی تائو جایگزین می شوند.به این منظور که VIDES را به دستگاه معادلات خطی تبدیل کند.برای برتری روش تائو نتایج عددی چند مثال با پایه های چند جمله ای چپیشف ارائه می شود.

 

 

واژگان کلیدی: انتگرال-دیفرانسیل،چند جمله ای، ضرایب، ثابت ها، ماتریس، بردار، مبنای چبیشف

 

فصل 0

پیشگفتار

 

1-0 انواع خطا

در مسائل عددی معمولا تقریب هائی از یک مجهول را در اختیار داریم لذا بین این تقریب ها و مقادیر واقعی خطاهائی وجود دارد لذا چند خطا را مورد بررسی قرار می دهیم.

 

1-1-0 تعریف

اگر تقریبی  باشدوقراردهیم آن گاه  راخطای مطلق می نامیم.

 

 

 

2-1-0 تعریف

هر عدد ناکمترازرا یک خطای مطلق حدی نامیم و با نمایش می دهیم بنابر این همواره و بر خلاف ،  منحصر بفرد نمی باشد.                                       

 

3-1-0 قرارداد

هر وقت می نویسیم:                     

 

4-1-0 تعریف

       اگر تقریبی از عدد مخالف صفر باشد خطای نسبی را بانشان می دهیم و آن عبارت است از خطا در واحد کمیت . یعنی:                      

 

5-1-0 قضیه

اگر تقریبی از و یک خطای مطلق حدی باشد داریم:

 

برهان: بنا به فرض داریم: 

                                                                                                                                                                                           

 

و بنا بر خواص قدر مطلق داریم:                                                                                 

                                                                                                                                                

                                                                                                                                    

در نتیجه داریم:                                                                                                                                                                                             

 

لذا:        

                                                                                                                                                                                                                                                                

6-1-0 قرارداد

اگر در مقایسه با کوچک باشد می توان از آن صرف نظر کرد و نوشت:

                                                                                                                                  

 

7-1-0 نتیجه

اگر در مقایسه با کوچک باشد آن گاه:                                                                                 

 

2-0 توابع و جند جمله ای ها

در این قسمت با چند نوع تابع و چند جمله ای آشنا می شویم.

 

1-2-0 تعریف

دو تابع  را نسبت به تابع وزن بر بازه متعامد گوئیم هرگاه:

                                     

 

2-2-0 تذکر 

در حالتی که به ازای هر         دو تابع را متعامد ساده گوئیم.

 

3-2-0 تعریف

دنباله توابع    را یک مجموعه متعامد می نامیم اگر این توابع دوبدو متعامد باشند ، یعنی  اگر  هنگامی که . که در آن یک مجموعه ساده از چند جمله ای ها می باشد.

 

4-2-0 تعریف

مجموعه های چندجمله ای هایی که روی بازه  نسبت به تابع وزن    متعامد باشند، به چند جمله ای های ژاکوبی معروف هستند.

 

5-2-0 تذکر

چند جمله ای های لژاندر دسته خاصی از چند جمله ای های  زاکوبی  به  ازای   هستند.

 

6-2-0 تذکر

دودسته خاص از چندجمله ایهای ژاکوبی،چندجمله ایهایی از نوع اول و دوم می باشند که بررسی می کنیم

چندجمله ای های چپیشف از نوع اول دارای تابع وزن  و  متناظر  با   می باشند.

چندجمله ای های چپیشف از نوع دوم دارای تابع وزن   و متناظر با می باشند.

 

7-2-0 قضیه

فرض می کنیم یک عدد صحیح نامنفی باشد در این صورت چندجمله ای  های از درجه وجود دارند، به قسمی که:        

                           

(1)                                                                                 

 

اثبات: بنا بر قضیه موآور،به ازای هرعددصحیح نامنفی  ،خواهیم داشت:

 

      (2)                                                                           

  

با به کار بردن قضیه دو جمله ای می توانیم بنوبسیم:

 

(3)                                       

 

قسمتهای حقیقی و موهومی دو طرف معادله (3) را مساوی قرار می دهیم. جمله های حقیقی در مجموع طرف راست این معادله، متناظر با مقادیر زوج هستند.

وقتی  آن گاه:

 

با مساوی قرار دادن قسمت های حقیقی در معادله(3)،خواهیم داشت:

 

 

طرف راست این معادله یک چند جمله ای درجه از است.این چند جمله ای را با نمایش میدهیم.در این صورت:    

                                                                                  

 

 که در آن:

از(1) نتیجه می شود که:                                                     

 

جمله های موهومی از مجموع طرف راست معادله(3)،متناظر با مقادیرفردهستند.

 

وقتی که خواهیم داشت:

 

 

با برابر قرار دادن قسمت های موهومی د معادله (3) بدست می آوریم:

 

        

 

مجموع طرف راست، یک چند جمله ای از درجه بر حسب است.

این چند جمله ای را با  نمایش میدهیم در اینصورت:

که در آن:

 

از فرمول(2) نتیجه می شود که:

 

 

8-2-0 قضیه

مجموعه چند جمله ایهای نسبت به تابع وزن بر بازه متعامدند و

 

 

 (که در آن  نرم تابع می باشند و به صورت زیر تعریف می شود).

 

اثبات: نخست ضرب داخلی یعنی

را در نظر می گیریم.

 

با بکار بردن تغییرمتغیروقتی خواهیم داشت.

بنا بر(1)به دست می آوریم

                                                                                             

 

9-2-0 قضیه

                چند جمله ایهای در معادله دیفرانسیل

صدق می کنند.

 

 اثبات: میدانیم که یک جواب معادله دیفرانسیل

                                                

است.این معادله با تغییر متغیر بصورت زیردر می آید:

 

قرار می دهیم  در نتیجه داریم:

                        

 

بنابراین چون      پس ها در معادله دیفرانسیل     صدق

می کنند.

 

3-0 معادلات انتگرال دیفرانسیل فردهلم در فضای باناخ

در این قسمت چند تعریف و قضیه را در مورد معادلات خنثی انتگرال-دیفرانسیل در فضای باناخ[1] بررسی

می کنیم.

 

 

1-3-0 تعریف

معادلات خنثی انتگرال-دیفرانسیل فردهلم را در نظر بگیرید:

 

 

که پیوسته می باشدو یک فضای باناخ است و.

 

2-3-0 قضیه

فرض کنید که  یک فضای  متریک  عمومی کامل باشد که  برای  هر ،

  و فرض کنید که  برای هر ،  ،تابع

وجود دارد بطوریکه:

                                    

 

و اگر همه مقادیر ویژه  در یک گوی باز از قرار بگیرد آنگاه  هنگامی که  و عملگریک نقطه ثابت  دارد.

 به علاوه دنباله متوالی از تقریبهای به در همگراست و به ازای هر آنگاه:

 

 

که در آن  یک ماتریس واحد در می باشد.

 

برهان: به[7]مراجعه شود.

 

3-3-0 قضیه

در شرایط(2-2)(1-2)(i)(به[7]مراجعه شود) .

اگر

 

آنگاه عملگر A یک نقطه ثابت دارد. بطوری که:

و یک جواب یکتای معادله (1)می باشند.

 

به علاوه دنباله متوالی تقریب ها با توجه به روابط زیر بدست می آید:

 

 

که به همگراست و بر آورد خطای زیر بدست می آید:

 

 

که: 

                                            

 

برهان: به[7]رجوع کنید.

 

 

 

4-3-0 تعریف

یک مجموعه یک تساوی لیپشیز[2] است اگر وجود داشته باشد که برای هر ،

 

                    

 

5-3-0 قضیه

زیر مجموعه های

                                 

 

تعریف شده در (6-3)(مراجعه شود به  ) تساوی لیبشیتز هستند اگر شرایط (7-2)-(1-2) و (i) (مراجعه شود به ) درست باشد.

 

برهان: به [7]مراجعه شود.

 

6-3-0 قضیه

با توجه به شرایط (7-2)-(1-2)وو(10-2)(به [7]مراجعه شود)واگر

 

آنگاه جواب دستگاه (2-1)(در[7])تقریبی روی دسته افراز پیوسته بدست آمده در (3-3)(رجوع شود به [7]) می باشد و بوسیله دنباله

 

بدست آمده در (17-3)-(12-3)(مراجعه شود به [7])و برآورد خطای زیر بدست می آوریم.

 

                                                                            

 

برهان:  به [7]مراجعه شود.

 

7-3-0 تذکر

 هنگامی که داشته باشیم:

وجود. یکتایی و تقریب جواب معادلات انتگرال-دیفرانسیل هامرستین-فردهلم[3] در فضای باناخ را بدست می آوریم.

به علاوه در مورد خاص  و تابع گرین[4] یک روش جدید رو مقدار نقطه کرانداری مسائل مرتبط با معادلات درجه دوم انتگرال-دیفرانسیل در فضای باناخ بدست می آوریم.

 

11-3-0 تذکر

برای یک روش جدید در دستگاه آنالیزی معادلات انتگرال-دیفرانسیل فردهلم بدست می آوریم

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

فصل 1

مقدمه

 

بیائید حالت کلی معادله خطی دیفرانسیل – انتگرال ولترا را در نظر بگیریم .

(1-1)                                            

در صورتی که  مستقل باشد

(2-1)                                 

 

زمانی که توابع پیوسته باشند و ثابت های داده شده باشند و مرتبه ی عمگر دیفرانسیل D با ضرایب چند جمله ایباشند درنتیجه :

 

(3-1)                                                               

 

در صورتی که مرتبه ای ازباشد .

حسینی [5] و شاهمراد [6] [123] روش تائو [7] را برای یافتن  راه  حل  عددی  معادلات  انتگرال- دیفرانسیل  فرد هلم [8]، ولترا[9]  و فردهلم – ولترا[10] با مبنای استانداردگسترش داده است و همچنین برای یافتن راه حل عددی برای معادلات دیفرانسیل – انتگرال فردهلم (FIDES) بویژه با مبنای چند جمله ای دلخواه این روش را استفاده کرده است هدف این مقاله نشان دادن پیشرفت هائی در روش کاربردی (به [5] و [6] مراجعه کنید ). با مبنای چند جمله ای دلخواه برای حل عددی معادلات انتگرال- دیفرانسیل ولترا (VFDES) می باشد .

جزئیات ساختار . مبنای دلخواه بکار رفته در روش های کاربردی برای روش تائو در بخش 2 توضیح داده شده است .

در بخش 3 برآورد کننده موثر خطای تائو معرفی شده است .

در بخش 4 مراحل اولیه به سوی کاربرد مبنای چنیشف[11]نشان داده شده است .

و بالاخره در بخش 5 برخی نتایج عددی فراهم شده است که کارآئی استفاده از مبناهای چبیشف در مقایسه با نتایج بدست آمده از دیگر روشها را نشان می دهد.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

فصل 2

نماد ماتریس

 

(1-2) : بخش های دیفرانسیل و شرایط مکمل

فرض کنید  یک بردار مبنای چند جمله ای متعامد باشد که از  بدست می آید. زمانی که V ماتریس پائین مثلثی متعامد نامنفرد باشد که برای  ،  باشد.

روابط زیر را از قسمت [4] بدست می آوریم .

 

i) : قسمت دیفرانسیل

    (1-2)                                                                                                    

 

 

                                                      

 

 

ii) شرایط مکمل

(2-2)                                                                                                               

زمانی که  برداری است که شامل گوشهای سمت راست شرایط می باشد و درایه های ماتریس B از فرمول زیر بدست می آید .

(3-2)                          

و      

                                                                                              

 

(4-2)                                                                                                 

 

 

2-2: قسمت انتگرال

بسط های  را در نظر بگیرید:

 

 

 

[1] :Banach

[2] :Lipschitz

[3] :Banach

[4] :Green function

[5] :Hosseini

[6] : Shahmorod

[7] : Tau

[8] : Fredholm

[9] : Volterra

[10] : Fredholm- Volterra

[11] : Chebyshev