1 مقدمه: آشنایی با ساختمان منطقی جمله هایی که مطالب ریاضی بوسیله آنها بیان می شوند مستلزم مفاهیم گزاره، گزاره نما، و اسم نماست. این مفاهیم که بخشی از منطق ریاضی مقدماتی محسوب می شوند می توانند مفاهیم و احکام ریاضی را قابل فهم و قابل توضیح نمایند. در عصر حاضر ایفای نقش منطق ریاضی در توجیه و قابل انتقال نمودن مفاهیم در پیشرفت و تکامل کامپیوتر بر هیچکس پوشیده نیست.
2.1 حساب گزاره ها
1.2.1 تعریف: گزاره جمله ای خبری است که یا راست است یا دروغ اگرچه راست یا دروغ بودن آن معلوم نباشد.
برای هر گزاره یک ارزش راستی یا دروغی یا مختصراً یک ارزش قائل می شویم. مثلاً هر یک از جملات«عدد 3 فرد است»،«عدد 6 زوج است» و« اصم است» گزاره هستند. هر یک از گزاره های اول و دوم راست هستند ولی راست یا دروغ بودن گزاره سوم یا مقدمات کنونی، برایمان معلوم نیست ولی در هر حال یا راست است یا دروغ.گزاره ها بطورکلی به سه دسته تقسیم می شوند: گزاره شخصی، گزاره کلی و گزاره جزئی( یا وجودی) نوع اول گزاره ای است که از شیء معینی خبر می دهد. و در این بخش مورد بحث ماست. نوع دوم و سوم را در بخش آینده تعریف و بررسی خواهیم کرد.
از ترکیب گزاره ها گزاره های مرکب حاصل می شود این عمل با رابطهای گزاره ای امکان پذیر است.
2.2.1 رابطهای گزاره ای: گزارها را با حروف p ، q ،v ،s و یا با حرف اندیس دار نظیر ،،... نشان می دهیم و هر نوع ترکیبی از آنها با الفاظ زیر که رابطهای گزاره ای نامیده می شوند امکان پذیر است.
«چنین نیست که»،«و»،«یا»،« اگر»،« اگر و فقط اگر»
علایم ~ ،&،،( یا )،( یا) نیز به ترتیب برای این رابط ها بکار خواهند رفت. اینک به توضیح آنها می پردازیم:
3.2.1 نقیض: اگر Pگزاره ای باشد«چنین نیست کهP» را نقیض P می گوییم و با علامت ~P نشان میدهیم. علامت ~ را ناقص و گزاره ای را که ناقص در آن عمل می کند دامنه عمل ناقص می نامیم. پیداست که اگر گزاره ای راست(دروغ) باشد نقیض آن دورغ( راست) است.
بعنوان مثال نقیض گزاره«6 عدد اول است» گزاره «چنین نیست که 6عدد اول است.» و گزاره«6 عدد اول نیست» خواهد بود.
4.2.1 ترکیب عطفی: اگر pو q دو گزاره باشد گزاره«p,q » را ترکیب عطفی p با q می گوییم و با علامت نشان میدهیم. علامت& را عاطف و p وq را مؤلفه های
عاطف نامیم. ترکیب عطفی فقط و فقط وقتی راست است که هر دو مؤلفه آن گزاره های راستی باشند.
از الفاظی که از نظر منطقی مترادف عاطف است لفظ« ولی= اما» است مثلاً گزاره«6 زوج است ولی اول نیست» به معنی« 6 زوج است و 6اول نیست» خواهد بود که البته گزاره ای راست است.
5.2.1 ترکیب فصلی: اگرp وq دو گزاره باشند گزاره «p یاq » را ترکیب فصلی p با q نامیده به علامت p v q نشان میدهیم. این گزاره فقط و فقط وقتی دروغ است که هردو مؤلفه آن دروغ باشند. توجه کافی به تفاوت این« یا» که یاء منطقی نامیده می شود با لفظ عادی« یا» که در استعمال عادی برای ترکیب گزاره ها بکار میرود مبذول دارید. در استعمال عادی لفظ«یا» گزاره ترکیب شده فقط وفقط وقتی راست است که یکی از مؤلفه ها راست و دیگری دروغ باشد این نوع«یا» را یاء مانع جمع می نامیم.
در منطق لفظ«یا» همواره به معنی منطقی بکار می رود و «یای» مانع جمع را با تکرار لفظ«یا» و نیز با لفظ« الا» مشخص می کنند. مثلاً گزاره های
« یا 5 فرد یا 5ز وج است»
« 5 فرد است والا زوج است»
به یک معنی هستند که مشخص کننده یای مانع جمع است.
6.2.1 ترکیب شرطی: اگر p و q دو گزاره باشند گزاره « اگر p آنگاه q » را ترکیب شرطی p باq می نامیم و آنرا به علامت ( یا ) نشان می دهیم.
در اینجا مؤلفه p مقدم و مؤلفه q تالی گفته می شود . ترکیب شرطی فقط وقتی دروغ است که pگزاره راست و q گزاره دروغ می باشد.
تذکر1: ارزشهای گزاره عطفی و گزاره از ترتیب مؤلفه ها مستقل است ولی ارزش گزاره شرطی چنین نیست، یعنی ممکن است راست ولی دروغ باشد و یا بالعکس دروغ و راست باشد
تذکر 2: بیان ترکیب شرطی« اگر p آنگاه q » در ریاضیات و نیز در زبان عادی به صورت های متنوعی امکان پذیر است که عبارتند از:
اگر p ، q ؛
هرگاه p آنگاه q ؛
در حالتی که p ، q ؛
q اگر p ،
q به شرطی p ؛
P و فقط وقتی که q ؛
P شرط کافی برای q است؛
q شرط لازم برای p است ؛
شرط کافی برای q آن است که p ؛
شرط لازم برای p آن است که q ؛
P مستلزم q است؛
q از p لازم می آید؛
.
7.2.1 ترکیب دو شرطی : گزاره
« اگر p آنگاه q و اگر q آنگاه p » (1)
ترکیب عطفی دو گزاره شرطی و است که می توان آن را به صورت زیر
نوشت:
معادل با(2)
این گزاره را ترکیب دو شرطی دو گزاره p و q می نامیم و آنرا به علامت
(3)
نشان میدهیم ارزش این گزاره فقط و فقط وقتی راست است که مؤلفه های p و q هم ارزش باشند اگرچه را به عنوان رابط گزاره ای تعریف کردیم ولی باید به مفهوم آن هم توجه داشت.
تذکر 1: مشابه ترکیب شرطی در مورد ترکیب دو شرطی نیز بیانهای مختلفی برای وجود دارند که عبارتند از:
شرط لازم و کافی برای p آن است که q؛
P فقط و فقط وقتی p که q ؛
فقط و فقط وقتی که q ؛
اگر p آنگاه q و بالعکس؛
شرط لازم برای p آن است که q و شرط کافی برای p آن است که q .
تذکر 2: در ریاضیات موردی هست که استفاده از ترکیب شرطی به جای ترکیب دو شرطی متداول است و آن در« تعریف» های ریاضی است. مثلاً تعریف« مثلث ABC را متساوی الاساقین می نامیم. در صورتی که دارای دو ضلع مساوی باشد» در واقع بدین معنی است که« مثلث ABC فقط و فقط متساوی الاساقین است که دارای دو ضلع مساوی باشد» و یا معادل است با« مثلث ABC را فقط و فقط متساوی الاساقین خوانند که دارای دو ضلع متساوی باشد.»
8.2.1 ترکیبات منطقی و فرمول های حساب گزاره ای: رابطهای گزاره ای یعنی ~ ،&،، و را ملاحظه کردیم که اولی در یک گزاره و سایرین در دو گزاره عمل می کنند. ترکیبات گزاره ها بوسیله آنها ترکیبات منطقی و عبارت حاصل از ترجمه یک گزاره را به زبان منطق( یعنی نوشتن آن با رابط های گزاره ای و حروف) یک فرمول حساب گزاره ها یا مختصراً یک فرمول می نامیم. گزاره های سازه ای یک ترکیب منطقی نیز گزاره هایی هستند که ترکیب منطقی از آنها ساخته می شود( بوسیله رابط های گزاره ای)
در نوشتن ترکیبات منطقی بصورت فرمولها اساساً باید دامنه یا دامنه های هر عمل را با پرانتز مشخص کرد استفاده از پرانتز در منطق مشابه ریاضیات است.
در ترکیبات منطقی باید به رابط اصلی توجه کافی شود. مثلاً در گزاره ، ~ رابط اصلی است در حالی که در گزاره ، رابط اصلی است. بکاربردن پرانتزها بعضاً الزامی است مثلاً ترکیب منطقی معنی ندارد، ولی معنی دار است که رابط عطفی دوم( از چپ به راست) رابط اصلی شمرده می شود.
د ربکارگیری پرانتز ها قراردادهای زیر را نیز داریم که توجه به آنها موجب تسهیل در ساده نویسی می گردد.
1.8.2.1 قرارداد: دامنه عمل ناقص فقط و فقط وقتی د رپرانتز قرار داده می شود که رابط اصلی این دامنه یک رابط دوطرفه باشد، بنابراین مثلاً نقیض را به صورت و نقیض گزاره را به صورت می نویسیم و نیز نقیض گزاره بصورت ساده نوشته می شود زیرا در گزاره رابط اصلی«~ » است.
2.8.2.1 قرارداد: اگردامنه عمل یک رابط دوطرفه در طرفی نقیض یک گزاره باشد. این دامنه را در پرانتز محصور نمی کنیم. مثلاً در ترکیب فصلی گذاشتن پرانتز ها ضرورتی ندارد و آنرا به صورت می نویسیم.همچنین ترکیب شرطی با حذف پرانتز هایی که لازم است به صورت ساده نوشته می شود.
مثال: گزاره « اگر و آنگاه » را به زبان منطق ترجمه کنید.
جواب: اگر p ، q و r به ترتیب گزاره های«»،«» و «» باشند آنگاه ترجمه گزاره چنین خواهد بود:
3.8.2.1 قرارداد: گزاره های و بصورت های و خواهند بود و تعمیم آن به هر تعداد نامتناهی با قراردادن پرانتزها از چپ به راست، گزاره ها را با معنی خواهد کرد. همچنین گزاره « p مگر آنکه q » را به معنی اگر آنگاهp ، و یا به صورت در نظر می گیریم. مثلاً« او را نمی بخشم مگر آنکه عذرخواهی کند» که به معنی« اگر عذرخواهی نکند او را نمی بخشم» است.
تذکر: تشخیص ساختمان منطقی گزاره ها با بیان عادی آنها لازم و ضروری است. این امر بیشتر در گزاره های شرطی مورد توجه است. مثلاً در گزاره « در مثلث ABC اگر آنگاه و بالعکس» مثلث بودن ABC مقدم یک ترکیب شرطی است که تالی این ترکیب شرطی گزاره دو شرطی:
« اگر و فقط اگر»
می شود درواقع گزاره مذکور به صورت زیر قابل بیان است
( ABC مثلث است)
9.2.1 ارزش راستی فرمولها: اگر در فرمولی نظیر یا یا حروف گزاره ای سازای آنرا نمایش گزاره های دلخواه بشماریم، هر فرمول نمایش گزاره ای بیشماری خواهد بود. برای تسهیل بیان، هر دستگاه از ارزشهای حروف گزاره های یک فرمول را یک ارزشدهی در آن فرمول می نامیم.( برای اختصار ارزش راست بودن را به T و دروغ بودن را به F نمایش میدهیم) مثلاً در گزاره اگر p راست و q دروغ باشدیک ارزشدهی در است.
تعداد ارزشدهی های یک گزاره به تعداد گزاره های سازای آن بستگی دارد. مثلاً در گزاره p ( شامل یک گزاره سازا) فقط دو ارزشدهی وجود دارد ولی دارای چهار ارزشدهی،، و است به همین ترتیب در گزاره ای با سه گزارۀ سازا هشت ارزشدهی خواهیم داشت. و بطورکلی در گزاره ای با n گزاره سازا دقیقا ارزشدهی امکان پذیر است.
برای تعیین تمام حالات ممکن ارزشدهی یک فرمول کلیه حالات گزاره های سازا را در جداولی تنظیم می کنیم و برای خود فرمول نیز یک یا چند ستون در نظر می گیریم سپس براساس تعاریف ارزش گزاره ها، ارزشدهی فرمول را معین می کنیم و ستون حاصل را جدول ارزش راستی فرمول موردنظر می نامیم.