مقدمه:
محققان زیادی در سراسر جهان، به مطالعهی نظری و آزمایشگاهی خواص ریزساختارهای اشتغال دارند. اگرچه حجم گزارشها از دستاوردهای آزمایشگاهی در مقایسه با تحقیقات بنیادی بسیار بیشتر است امّا با در اختیار گرفتن کامپیوترهای با قدرت پردازش بالا، مطالعات نظری در مورد نانوساختارها نیز در حال افزایش میباشد. با وجود اینکه در این پایاننامه، بیشتر بر کارهای آزمایشگاهی تمرکز شده، لیکن در ابتدای این فصل، یکی از مطالعات ساده نظری در مورد نانوساختارها یعنی "مقایسه چگالی حالتها در نیمرساناهای سه، دو، یک و صفر بعدی" ارائه
می شود. سپس در ادامه، مبانی آنالیزهائی که در فصلهای آینده از آنها برای مطالعه خواص نانوذرّات بهره گرفته میشود به طورخلاصه معرفی خواهند شد.
2-1 مقایسه چگالی حالتهای نیمرساناهای سه، دو، یک و صفر بعدی
2-1-1 محاسبه چگالی حالتها در نیمرساناهای حجیم
هر الکترون با بردار موج و اسپین S میتواند حالتهای ممکن انرژی که با نشان داده میشوند را با احتمال بین صفر و یک اشغال کند. چون مطابق اصل طرد پائولی، هر حالت کوانتومی حدّاکثر توسط یک فرمیون اشغال میگردد. تابع توزیع احتمال متناظر با این، توزیع مشهور فرمی دیراک است:
چون تابع توزیع به اسپین بستگی ندارد، میتوان نوشت. پارامتر پتانسیل شیمیائی است که در دمای صفر درجه با انرژی فرمی برابر است. در این دما تابع فرمی به صورت زیر تبدیل میشود.
در صورتی که احتمال اشغال تمامی حالتهای ممکن با هم جمع شوند، به دلیل اینکه در هر حالت حدّاکثر یک الکترون میتواند وجود داشته باشد، تعداد کلّ ذرّات N در سیستم برابر است با:
(2-1)
مقدار پتانسیل شیمیائی به گونهای است که در هر دما و انرژی، معادلهی بالا صادق باشد. چگالی حالتها را میتوان با کاربرد معادلهی شرودینگر برای الکترونهای غیر اندرکنشی به دست آورد.
جواب این معادله برای الکترونهای آزاد در یک شبکه تناوبی به حجم به صورت زیر است:
با اعمال شرایط تناوبی "بورن ون کارمن[1] "[81]
مقادیر بردارهای موج و ویژه مقادیر انرژی به صورت زیر به دست میآید:
(2-2)
که مقادیر را اختیار میکنند. از آنجا که بازهی بین دو مقدار مجاز بردار موج برابر است()، در این صورت حجمی از فضای وارون که حتماً یک نقطه را در خود جای داده(شکل2-1) برابر است با
(2-3)
(تصاویر در فایل اصلی موجود است)
شکل2-1 )نمائی از حجمهای فضای وارون که حتماً یک نقطه را در خود جای دادهاند.
از طرف دیگر میتوان را به صورت روبرو نوشت:
با جانشینی از رابطه 2-3 رابطهی زیر به دست میآید:
به دلیل اینکه با حجم نیمرسانای حجیم نسبت عکس دارد و برای این نیمرسانا، تعداد زیادی از حالتهای الکترونی با فواصل خیلی نزدیک به هم در یک حجم کوچک وجود دارند، تبدیل جمع به انتگرال امکان پذیر است.
عنصر دیفرانسیلی حجم در فضای سه بعدی برابر است. با استفاده از رابطهی 2-1 و با جایگذاری انتگرال به جای و احتساب اسپین، داریم:
(2-4)
میتوان انتگرالگیری بر روی k را با انتگرال روی انرژی جانشین کرد.
که در آن، چگالی حالتها وارد شده است. مفهوم چگالی حالتها برای درک پاسخ نوری در نیمرساناها حائز اهمیت است و بیان میکند که بین و چه تعداد حالت قرار گرفته است.
(2-5)
(تصاویر در فایل اصلی موجود است)
(2-6)
با استفاده از رابطه 2-2 چگالی حالتها برای یک نیمرسانای حجیم به صورت زیر بدست میآید.
(2-7)
ملاحظه میشود که چگالی حالتها برای نیمرساناهای سه بعدی حجیم با تناسب دارد.
نیمرسانای سه بعدی
(تصاویر در فایل اصلی موجود است)
چگالی حالتها برای یک جامد سه بعدی با متناسب است.
2-1-2 محاسبه چگالی حالتها در لایههای نازک نیمرسانا
با حل معادله شرودینگر برای لایه نازک واقع در صفحه xy، ویژه مقادیر انرژی به صورت زیر به دست میآید . همانگونه که دیده میشود، انرژی ذرّات، در راستای عمود بر لایه کوانتیده است.
(2-8)
با اعمال شرایط تناوبی در دو بعد، سطحی از فضای وارون که یک نقطه را در خود جای میدهد برابر است با:
شکل2-3) نمائی از سطوح فضای وارون که حتماً یک نقطه را در خود جای دادهاند.
به دلیل بزرگ بودن مقدار A و نزدیک بودن حالتها در صفحهی xy به یکدیگر، تبدیل جمع به انتگرال در صفحه مجاز میباشد بنابراین میتوان نوشت:
برای تبدیل به انتگرال در رابطهی 2-1 به صورت زیر عمل میشود(توجّه شود که در اینجا منظور از N تعداد کل الکترونها در صفحه و بنابراین n نیز چگالی سطحی الکترونها است) :
(2-9)
با برقراری تساوی، مانند رابطه 2-5 رابطههای زیر به دست میآید:
و داریم
3
با استفاده از رابطه انرژی 2-8 میتوان نوشت:
نیم رسانای دو بعدی
(جداول و نمودار در فایل اصلی موجود است)
شکل2-4)چگالی حالتها در نیم رسانای دوبعدی
چون انرژی کل ذرّه، درون یک چاه پتانسیل نامتناهی که توسط معادله2-8 ارائه شده، با عدد کوانتومی تغییر میکند، برای هر مقدار از یک نوار انرژی سهمی شکل در جهت وجود دارد. در نتیجه ترازهای انرژی در جهت از نوارهای سهموی که از یکدیگر به اندازه مجزا هستند تشکیل شدهاند. هر یک از این نوارها یک چگالی ثابت ایجاد میکند. در نتیجه چگالی حالتهای یک ذرّه منفرد در انرژی مساوی معادله زیر است:
که در آن تابع پلهای برای تأکید بر این مطلب است که حالتها از شروع میشوند.
0
(ب) (الف)
شکل2-5)"الف" سهمیهای متناظر با مقادیر مجزا. "ب" چگالی حالتهای ذرّه [32].
2-1-٣ چگالی حالتها در نانو سیمها
اگر فرض شود که سیم در راستای محور y است، با حل معادله شرودینگر داریم:
که ترازهای انرژی و کوانتیدهاند. با بهرهگیری از مقدار مجاز k در یک بعد و به دلیل مجاز بودن تبدیل جمع به انتگرال در راستای محور y، با تکرار مراحل قبلی، نتیجه روبرو حاصل میشود:
و از آنجا که:
چگالی حالتها برای حالت یک بعدی رابطه زیر است:
پس می توان گفت در یک نانو سیم چگالی حالتها با تناسب دارد:
(جداول و نمودار در فایل اصلی موجود است)
شکل2-6)چگالی حالتها در نیم رسانای یک بعدی.
2-1-4 چگالی حالتها در یک نقطه کوانتومی
دریک نانوذرّه بدلیل حبس کامل حاملهای بار، انرژی در هر سه بعد کوانتیده میباشد:
(2-10)
از طرفی داشتیم
(2-11)
با توجه به رابطههای 2-10 و 2-11 به هنگام محاسبهی چگالی حالتها در نانوذرّات، به بینهایت بر میخوریم. پس انتظار داریم که چگالی حالتها در آنها به توابع دلتا بانجامد[32]:
اکنون میتوان چگالی حالتها را برای نانومواد و ماده تودهای با یکدیگر مقایسه نمود:
نقطه کوانتومی نانوسیم لایه نازک بلور حجیم انرژی
چگالی حالتها
(جداول و نمودار در فایل اصلی موجود است)
مودار چگالی حالت ها بر حسب انرژی در مواد سه، دو، یک و صفر بعدی. در حالت سه بعدی تراز های انرژی پیوسته است. در نانوذرّات چگالی حالتها ترازهای جداگانهای را تشکیل میدهند.
2-2 ابزارهای تحلیل نانوذرّات
در فصلهای آینده از آنالیز های طیف گسیلی، جذب نوری، پراش اشعهی ایکس، میکروسکوپ الکترونی و مغناطومتر نیروی گرادیان برای مطالعه خواص نانوذرّات تولیدی استفاده خواهد شد. از آنجا که تحلیل نتایج این آنالیزها در فاز نانو با فاز تودهای تفاوت دارد، داشتن درک کامل از پشتوانه نظری آنها ضروی میباشد. برای مثال هنگامی که در نقش پراش اشعه ایکس نانوذرّات، بر خلاف مواد حجیم، قلّههای پهن مشاهده میشوند، بدون آگاهی از پشتوانهی نظری این پدیده، نمیتوان ساختار بلوری نانوبلورهای تولیدی را تشخیص داد. همچنین در فصل آینده از برخی فرمولها برای محاسبه اندازه ذرّات استفاده خواهد شد که در این فصل معرفی میشوند.