مقدمه
در حالی که اغلب تعیین توزیع احتمالی برای یک متغیر تصادفی معین مفید است، بسیاری مواقع در استنباط آماری و تصمیمگیری توابع احتمالی متغیرها دارای یک فرم هستند. در چنین مواردی استفاده از نظریه توابع احتمالی شرح داده شده در فصل پنجم برای به دست آوردن نتایج کلی در مورد توزیع احتمالی مثل میانگین و واریانس بهتر است از به دست آوردن این مشخصهها در هر حالت ویژه. زیراکسل کننده خواهد بود که در هر مورد جدید با استفاده از توزیع احتمالی یا چگالی، فرایند تعیین مشخصهها مثل میانگین و واریانس را انجام دهیم. خوشبختانه به اندازه کافی همانندی بین انواع معین از آزمایشهای منحصر به فرد معلوم وجود دارد، به طوری که به دست آوردن یک فرمول که نشان دهنده ویژگی عمومی این آزمایشها باشد را ممکن میسازد.
در این فصل بعضی از توزیعهای احتمالی متغیرهای تصادفی گسسته مثل توزیعه ای دو جملهای، فوق هندسی و پواسن را مطالعه خواهیم نمود و خواص آنها را بررسی می‌کنیم این توزیعها از مهمترین توزیعهای گسسته در آمار هستند که کاربرد زیادی دارند. توزیعهای احتمالی متغیرهای پیوسته با تأکید بر توزیع نرمال که کاملاً شناخته شده است و در آمار استفاده زیادی از آن میشود در فصل هفتم بحث خواهد شد.
آزمایش دو جملهای
بسیاری از آزمایشگاه هستند که دارای یک ویژگی عمومی بوده و آن عبارت است از اینکه نتایج آنها به یکی از دو پیشامد دستهبندی میشوند. برای مثال، «آزمایش دسته بندی یک متقاضی شغل که مرد یا زن است» دارای دو نتیجه میباشد، آزمایش پرتاب یک سکه که نتیجه آن پیشامد شیرآمدن و خط آمدن میباشد. تولد یک نوزاد که نتیجه آن پسر و یا دختر میباشد. آزمایش انتخاب یک کالای تولیدی که نتیجه آن تنها به یکی از دو صورت سالم و یا ناقص اتفاق میافتد.
در حقیقت این امکان همیشه وجود دارد که نتایج رخدادهایی که در زندگی روزمره اتفاق میافتد را به صورت دو نتیجه «موفقیت» و یا «عدم موفقیت» شرح دهیم. امتحانهایی که تنها منتج به دو نتیجه میشوند، نقش بسیار مهمی در یکی از توزیعهای احتمالی گسسته که کاربرد زیادی در عمل دارد یعنی «توزیع دو جملهای» ایفا میکنند.
قبل از این که توزیع دو جملهای را معرفی کنیم، آزمایش دو جملهای را شرح میدهیم با توجه به مثالهای بالا و مثالهایی مثل مصاحبه با یک رأی دهنده که جواب آن موافق کاندیدای مورد نظر است و یا نیست. پرتاب موشک که نتیجه آن به هدف خوردن و یا به هدف نخوردن است، ملاحظه میشود که صرف نظر از بعضی از تفاوتها همه آنها دارای یک مشخصه ویژه آزمایش دو جملهای میباشند.
تعریف:
یک آزمایش دو جملهای دارای فرضیات زیر است.
1-آزمایش دو جملهای مرکب از n امتحان یکسان ساده است.
2-هر امتحان منتج به یکی از دو نتیجه میشود. یک نتیجه را موفقیت و با S نشان داده و نتیجه دیگر را عدم موفقیت و با F نشان میدهیم.
3-احتمال موفقیت در یک امتحان ساده مساوی P است، که از یک امتحان به امتحان دیگر ثابت باقی میماند احتمال عدم موفقیت مساوی q=1-P است.
4-امتحانها از هم مستقل میباشند.
5-علاقمند به X، تعداد موفقیتهای هستیم که در nبار آزمایش ساده مشاهده میشود. امتحانهای سادهای که در این شرایط صدق میکنند به آزمایشهای «برتولی» معروفند. در عمل فرضهای بیان شده در یک آزمایش دو جملهای تنها در حالتهای محدودی وجود دارند، اما مادامی که هر آزمایش روی آزمایش دیگر اثر ناچیزی داشته باشد میتوان نظریه دو جملهای را بکار برد.
برای مثال، احتمال این که یک رایدهنده موافق کاندیدای معینی در یک انتخاب سیاسی رأی به دهد تقریباً از یک امتحان به امتحان دیگر ثابت میماند. مادامی که جامعه رای دهندگان در مقایسه با نمونه نسبتاً بزرگ باشد. اگر پنجاه درصد جامعه 1000 نفری از رای دهندگان کاندیدای A را ترجیح به دهند، آن گاه احتمال موافق بودن اولین مصاحبه شونده به کاندیدای A مساوی خواهد بود. احتمال موافق بودن دومین مصاحبه شونده به کاندیدای A مساوی یا خواهد بود که بستگی دارد به اینکه آیا اولین مصاحبه شونده موافق بوده یا مخالف آن. هر دو عدد نزدیک به هستند، در عمل برای سومین، چهارمین و nامین انتخاب هم همین طور است در صورتی که n