هارمونیکی مخزن آب :
L=300(ft)
Din = 8(ft)
Dout = 10(ft)
Wtot = 6×105 (lb)
E = 4×106 (psi)
الف){█(ω_n= ?@τ_n= ?)┤
ب ) {█(x ̇= 0 @ 〖 x〗_0= 〖10〗_( in) ) →x(t)=?┤
{█(x ̇_max =?@〖 x ̈〗_max〖 〗 =?)┤
k=p/δ= 3EI/l^3
I= π/64 ( D_0^4- D_i^4 )= 600.9554 × 〖10〗^4 ( in^4 )
K= (3×(4×〖10〗^6 )(600.9554×〖10〗^4)/〖3600〗^3 =1545.6672 ib⁄in
(الف ω_n=√(k/m)=√((1545.6672×386.4)/(6×〖10〗^5 ))=0.9977 rad/sec
τ_n=2π/ω_n =2π/0.9977=6.2977 sec
(ب(〖 x〗_0=10(in) ,x ̇_0=0) ̇
x(t)=A_0 sin(ω_n t+∅_0)
A_0=[x_0^2+(x_0/ω_n )^2 ]^(1/2)=x_0=10 in
∅_0=tg^(-1) ((x_0 ω_n)/0)=π/2
→ x(t)=10 sin〖(0.9977t+π/2〗)=10 〖 cos 〗〖0.9977 t (in)〗
(ج x ̇(t)=10(0.9977) cos(0.9977t+π/2)
→ x ̇_max=A_0 ω_n=10(0.9977)=9.977(in⁄sec)
x ̈(t)=-10(0.9977)^2 sin(0.9977t+π/2)
→x ̈_max=A(ω_n )^2=10 (0.9977)^2=9.9540(in⁄〖sec〗^2 )
مثال) ارتعاشات آزاد بر اثر ضربه:
جرم m از ارتفاع h روی جرم M سقوط پاسخ سیستم را بیابید؟ x(t)= ?
mv_m=(M+m) x ̇_0^
x ̇_0=(m/(M+m)) v_m=(m/(M+m)) √2gh
x_0=(-mg)/k ,k=(3 EI)/L^3
x(t)=A cos(ω_nt-∅) A=[x_0^2+(x ̇_0/ω_n )]^(1/2) , ∅=tg^(-1) (x ̇_0/(x_0 ω_n ))
ω_n=√(k/(M+m))=√((3 EI)/(L^3 (M+m) ))
اگر فرکانس طبیعی را داشته باشیم ،مقادیر دیگر مثل مدول یانگ را می توان بدست آورد .
مثال : فرکانس طبیعی مستقیم قرقره ای را بیابید ؟
(جرم وزن)/(معادل ثابت)=جرم خالص مکان تغییر
W/K_eq =4w(1/k_1 +1/k_2 )= 4w(k_1+k_2 )/(k_1 k_2 )
k_eq=(k_1 k_2)/(4(k_1 k_2))
mx ̈+k_eq x=0 ω_n=(k_eq/m )^(1/2)=[(k_1 k_2)/4m(k_1 k_2 ) ]^(1/2) rad/sec
ارتعاشات آزاد سیستم های پیچشی نامیرا: