دانلود تحقیق رایگان هندسه ریمانی و هندسه نا اقلیدسی

هندسه ریمانی و هندسه نا اقلیدسی

هندسه ریمانی شاخه‌ای از هندسه دیفرانسیل است که بررسی خمینه های ریمانی می‌پردازد. یک خمینه ریمانی خمینه ایست که مجهز به یک متریک ریمانی می‌باشد یعنی یک ضرب داخلی در فضای مماس بر هر نقطه خمینه که بطور هموار تغییر می‌کند. هندسه ریمانی در قرن نوزدهم توسط برنهارد ریمان پایه گذاری شد. هندسه ریمانی در نظریه نسبیت عام نقش اساسی دارد. هندسه ریمانی مهمترین و پرکاربرد ترین شاخهء هندسه دیفرانسیل می‌باشد.

مطالعه ی خمینه ها (manifolds)، مستلزم آشنایی با متریک ریمانی (Riemannian metric) است. هندسه ریمانی یک فضای عمومی است که بر پایه عنصر فاصله (line element) پی ریزی شده است

با   برای  تابعی بر روی کلاف مماس (tangent bundle)  است. در نتیجه،  همگن درجه ی ۱ در  بوده و شکل متریک فضای ریمانی به صورت زیر القا می شود

(Chern 1996). چنانچه شرط فوق را حذف کنیم نتیجه منجر به هندسه ی فینسلر (Finsler geometry) می گردد.

مفاهیم:

: خمینه یک فضای توپولوژیک (topological space) است که موضعاً اقلیدسی (locally Euclidean) است. (

یعنی دور هر نقطه، همسایگی موجود است که از نظر توپولوژیک مانند یک گوی واحد باز (open unit ball) در  می باشد) برای توضیح بیشتر پیرامون مطلب اخیر، عقیده ی قدیمی مبنی بر اینکه زمین تخت و مخالف با مدارک مدرن که در آن ها گرد بودن زمین به اثبات رسیده است را در نظر می گیریم. این تفاوت در اصل از این امر ناشی می شود که معیار بسیار کوچکی از سطح زمین به واقع ما را بر آن می دارد که بر اساس مشاهدات بگوییم که زمین واقعاً تخت نیست. به طور کلی، هر جسمی که تقریباً صاف است، در مقادیر کوچک خود در حقیقت یک خمینه است و بنابرین رهاورد خمینه ها تعمیم کلی اشیاء به نحوی است در واقع از مسئله ی تخت گرد بودن زمین ناشی می شود که اولین بار به صورت منظم در قالب فرمول بندی پوانکاره (Poincaré) آشکار گردید.

به طور صوری، هر شی ای که قابل "ترسیم" باشد، یک خمینه است.

هندسه نااقلیدسی

در قرن نوزدهم دو ریاضیدان بزرگ به نام «لباچفسکى» و «ریمان» دو نظام هندسى را صورت بندى کردند که هندسه را از سیطره اقلیدس خارج مى کرد. صورت بندى «اقلیدس» از هندسه تا قرن نوزدهم پررونق ترین کالاى فکرى بود و پنداشته مى شد که نظام اقلیدس یگانه نظامى است که امکان پذیر است.

در مورد نظریه نسبیت خاص

نظریه نسبیت خاص اینشتین تمایز آشکارى میان ریاضیات محض و ریاضیات کاربردى است. هندسه محض مطالعه سیستم هاى ریاضى مختلف است که به وسیله نظام هاى اصول موضوعه متفاوتى توصیف شده اند. برخى از آنها چندبعدى و یا حتى nبعدى هستند. اما هندسه محض انتزاعى است و هیچ ربطى با جهان مادى ندارد یعنى فقط به روابط مفاهیم ریاضى با همدیگر، بدون ارجاع به تجربه مى پردازد. هندسه کاربردى، کاربرد ریاضیات در واقعیت است.

نور به سبب میدان هاى گرانشى که بر اثر اجرام آسمانى پدید مى آید خط سیرى منحنى دارد. براساس نسبیت عام نور در راستاى کوتاه ترین خطوط بین نقاط حرکت مى کند اما گاهى این خطوط منحنى هستند چون حضور ماده موجب انحنا در مکان - زمان مى شود.

در نظریه نسبیت عام گرانش یک نیرو نیست بلکه نامى است که ما به اثر انحناى زمان _ مکان بر حرکت اشیا اطلاق مى کنیم. آزمون هاى عملى ثابت کردند که شالوده عالم نااقلیدسى است و شاید نظریه نسبیت عام بهترین راهنمایى باشد که ما با آن مى توانیم اشیا را مشاهده کنیم. اما مدافعین هندسه اقلیدسى معتقد بودند که به وسیله آزمایش نمى توان تصمیم گرفت که ساختار هندسى جهان اقلیدسى است یا نااقلیدسى. چون مى توان نیروهایى به سیستم مبتنى بر هندسه اقلیدسى اضافه کرد به طورى که شبیه اثرات ساختار نااقلیدسى باشد.

نیروهایى که اندازه گیرى هاى ما از طول و زمان را چنان تغییر دهند که پدیده هایى سازگار با زمان - مکان خمیده به وجود آید. این نظریه به «قراردادگرایى» مشهور است که نخستین بار از طرف ریاضیدان و فیزیکدان فرانسوى «هنرى پوانکاره» ابراز شد. اما نظریه هایى که بدین طریق به دست مى آوریم ممکن است کاملاً جعلى و موقتى باشند. اما دلایل کافى براى رد آنها وجود دارد؟