در این فصل رفتار بردارهای ریتز وابسته به بار ، با وجود دقت محدود اعمال ریاضی در کامپیوترها بررسی می گرد. نشان داده خواهد شد که اگر الگوریتم به گونه ای مستقیم به کار گرفته شود، آنگونه که در قسمت اول این بخش عنوان شده است، رفتار واقعی این روش می تواند کاملاً متفاوت با رفتار تئوری باشد ،زیرا بردارهای حاصله مستقل خطی نخواهند بود. سپس الگوریتمی جدید برای ایجاد بردارهای ریتز وابسته به بار ارائه می گردد. نشان داده خواهد شد الگوریتم اصلاح شده بردارهای ریتز (LWYD) بسیار پایدارتر از الگوریتم اصلی عنوان شده می باشد.در پایان نیز مثالی عددی ارائه می گردد.
1-6- استقلال خطی بردارهای ریتز وابسته به بار
نشان داده شد الگوریتم ایجاد بردار های ریتز وابسته به بار شبیه به روند تولید بردارهای Lanczos است. بنابراین روش بردارهای ریتز نیز مستعد همان مشکل روش Lanczos یعنی از دست دادن تعامد می باشد که در کاربردهای اولیه Lanczos در کامپیوتر مشهود بود. اگر به صورت ویژه نگاه کنیم بیشتر نگران کاربرد کامپیوتری با استفاده از ریاضیات با دقت محدود برای گامهای 4.b و 4.c (شکل 1-3)که مربوط به روند متعامدسازی Gram-Schmidt می باشد، هستیم که برای بدست آوردن پایه مستقل خطی در محدوده زیر فضای تعریف شده توسط بردارهای ریتز وابسته به بار به کار می رود. به پایداری عددی روند
Gram-Schmidt برای بدست آوردن مقادیر ویژه در سیستمهای ماتریسی بزرگ توجه زیادی شده است و مطالب زیادی می توان آموخت.
1-1-6- روش Lanczos و از دست دادن تعامد
مساله تعامد در روش Lanczos همواره جای سؤال بوده است در عمل ثابت شده است که اگر هر بردار را تنها نسبت به دو بردار قبلی متعامد کنیم در مجموع به تعامد نخواهیم رسید. این امر باعث می شود که
(1-6)
و
(2-6)
در این شرایط حتی اگر r=n باشد تناظر یک به یک میان مقادیر ویژه محاسبه شده [Tr] و مقادیر ویژه وجود ندارند و الگوریتم تکراری در r=n پایان نمی یابد.
Paige نشان داد که از دست رفتن تعامد در درجه اول به علت همگرایی مقادیر ویژه [Tr] به مقادیر ویژه می‌باشد و تنها به علت خطاهای متوقف سازی نیست. همینطور او نشان داد که هر چند تعامد کلی از دست می رود اما تعامد محلی تا هنگامی که عناصر خارج از قطر، bi از [Tr] بسیار کوچک نیستند، وجود خواهد داشت.
مشکلی که در عمل به وجود می‌آید آن است که هنگامی که یک بردار ویژه بدست می‌آید (البته به طور صحیح) خطاهای ناشی از گردکردن با ضرب تکراری ماتریس جرم برای تولید کپی همان بردار ویژه به سرعت افزایش می یابند. اگر اصرار داشته باشیم که هر مقدار ویژه [Tr] باید یک مقدار ویژه را تقریب بزنند تعامد تقریباَ عمومی امری بنیادین می‌باشد. که این امر بدون باز- متعامدسازی با توجه به بردارهای ویژه همگرا شده امکان پذیر نمی‌باشد.
مزیت انجام باز تعامد با توجه به بردارهای قبلی آنست که از تولید چندین کپی از بردارهای ویژه خودداری می گردد ضمن آنکه ایجاد بردارهای ویژه از چندین مقدار ویژه در معرض خطر قرار نمی گیرد.
2-1-6- بردارهای ریتز وابسته به بار و مساله از دست دادن تعامد
حتی اگر منظور، بدست آوردن حل صحیحی از مساله مقدار ویژه توسط بردارهای ریتز وابسته به بار نباشد تعامد پایه ریتز برای موفقیت روش امری اساسی می باشد. به علاوه اگر سیستم کاهش یافته قطری شود، همانگونه که در تحلیل طیف پاسخ لازم است، مهم است که مقادیر ویژه تقریبی متناظر با فرکانس پایین نزدیک مقادیر ویژه دقیق سیستم اصلی باشند. در استفاده عملی در تحلیل با استفاده از برهم نهی برداری، این مطلب به احتمال زیاد تمام آن چیزی است که مورد نیاز است.
مزیت دیگر تعامد کلی پایه بردارهای ریتز وابسته به بار آنست که می توان ماتریس جرم کاهش یافته را مستقیماً برابر واحد فرض کرد بدون آنکه تبدیل برای بدست آوردن لازم باشد. ارتونرمال بودن نسبت به جرم نیز همانطور که نشان داده شد برای ایجاد معیار خطا به منظور توقف عملیات تولید بردار لازم است. (با توجه به همگرایی مورد نیاز)
از آنجایی که هدف بردارهای ریتز وابسته به بار بدست آوردن یک حل ویژه صحیح نمی باشد و تشکیل یک پایه برداری درست وابسته به بار می باشد یک استراتژی باز متعامدسازی که از دست دادن تعامد بردارها را هنگامی که ایجاد می شوند نمایان سازد، مناسب ترین روش برای بدست آوردن تعامد کلی پایه برداری می باشد.
3-1-6- باز متعامد سازی انتخابی
برای نگاه داشتن تعامد در بردارهای Lanczos ،گرگوری از اعمال کامپیوتری با دقت بالاتر استفاده نمود اما بهبودهای مرزی را مشاهده نمود سپس (اجالو و نیومن، چرخه باز متعامدسازی را پیدا کردند که می‌توانست بردارهای سعی را تا حدی که برای سیستمهای بزرگ لازم بود متعامد سازد که در اینجا اصلاح شده آن را برای بردارهای ریتز وابسته به بار می بینیم.
1) بردار بعد از اولین متعامدسازی از الگوریتم تکراری شکل 1-3 بدست می آید. و کنترل می گردد که معیار تعامد معادله 7-6 را برآورده سازد.
اگر این معیار برآورده شود الگوریتم به گام 5 می رود در غیر این صورت الگوریتم به گامهای 2 تا 4 می‌رود.
2) بردار باز متعامدسازی نسبت به تمامی بردارهای قبلی می گردد.
(6-6)
3) این کار آنقدر انجام می شود تا بردار قابل قبول معیار تعامد را برآورده سازد.
(7-6)
که TOL تابعی از تعداد ارقام با معنی کامپیوتر می باشد. فرم ماتریسی کنترل انجام شده توسط معادله (4.7) به صورت بردار زیر می باشد.
(8-6)
که ماتریسی از مرتبه می باشد. معیار تعامد با اطمینان از آنکه نرم بی‌نهایت ( بردار کوچکتر از پارامتر TOL می باشد تأیید می گردد. برای کارایی عددی بیشتر مؤلفه‌های بردار را می توان ذخیره نمود. زیرا آنها متناظر با ضرایبی هستند که برای روش Gram-Schmidt ، اگر چرخه متعامدسازی دیگری برای تشکیل بردار لازم باشد، مورد نیاز می باشد.
4( اگر برای تعدادی از بردارها معیار بالا ارضا نشد، بعد از تکرار مشخص، NOG، اخطاری داده می شود که مقدار حداکثر ضریب تعامد را عنوان می کند.
(9-6)
سپس کاربر دو گزینه دارد:
(a می توان فرض کرد که بردار جدید ریتز وابسته به بار با توجه به تکرار حداکثر و تلرانس مشخص شده قابل ایجاد نمی باشد و مساله کاهش یافته با مرتبه i-1 حل می‌گردد.
(b محاسبات با کاهش صحت ادامه یابد.
(5 اگر معیار تعامد برآورده گردد، بردار حاصله نسبت به جرم نرمال می باشد و محاسبات برای ایجاد بردار بعدی ادامه می یابد.
(10-6)
باید توجه نمود اگر هیچ‌گونه تکراری انجام نشود (برای بهینه‌سازی تعامد) الگوریتم دقیقاً متناظر نمونه اصلی (شکل 1-3) می باشد.
4-1-6- کاربرد کامپیوتری متعامدسازی انتخابی
تجربیات عددی برای بررسی کارآیی روشهای متعامدسازی و تایید کارآیی نسبی روشهای مختلف بر روی سیستمهای سازه ای ترتیب داده شدند، و انواع مختلف زیر بررسی شده اند.
1) الگوریتم متعامدسازی اولیه Gram-Schmidt با دقت ساده و مضاعف.
2) متعامدسازی گرام – اشمیت اصلاح شده با دقت ساده
3) ریاضیات بادقت بالای جزئی که تمامی مجموع حاصل ضربهای داخلی بادقت مضاعف انجام شده‌اند.
در گرام اشمیت اصلاح شده در محاسبه Cj بردار سعی بهینه شده استفاده می گردد.
For j=1 To i-1 (11-6)
Next j
تعداد عملیات مورد نیازدر جدول 1-6 آمده است.
جدول 1-6
تعداد عملیات لازم برای روندهای متعامدسازی
n: درجه ماتریس جرم کاهش نیافته [M]
r: تعداد بردارهای ریتزی که باید حساب شوند.
ماتریس جرم کامل ماتریس جرم متمرکز شده
N[r2+n(r-1)] n(r2+r-1) G.S معمولی
Nr2[1+n/2] n(3/2+r2) G.S اصلاح شده
اگر یک بهینه سازی تک مرحله ای اجازه داده شود این تعداد 1.5 برابر می گردد.
2-6- تنوع محاسباتی الگوریتم بردارهای ریتز وابسته به بار
1-2-6- بردارهای ریتز LWYD (وابسته به بار اصلاح شده)
الگوریتم جدیدی برای ایجاد بردارهای ریتز وابسته به بار مورد بررسی قرار گرفت تا یک شمای تولید بردار پایدارتری ایجاد گردد. که در شکل 1-6 آنرا مشاهده می کنید، ابتدا بردار اولیه ، که متناظر با تغییر شکل استاتیکی سازه تحت اثر توزیع مکانی بارهای دینامیکی می باشد، ایجاد می شود. همانگونه که بردارهای جدید محاسبه می گردند این بردار (استاتیکی) با استفاده از روش متعامدسازی Gram-Schmidt به روز می شود تا مؤلفه‌های مشترک پایه از بین بروند. سپس این بردار استاتیکی به روز شده برای رابطه تکراری معمول به منظور ایجاد بردار های اضافی به کار می رود. ترجمه فیزیکی این مطلب بدین شکل است که ابتدا حل اولیه از تحلیل استاتیکی بدست می آید سپس این پاسخ استاتیکی با حذف مؤلفه‌های مشارکت کننده دینامیکی اصلاح می شود و این به عنوان مکانیزمی برای محاسبه بردارهای جدید به کار می رود. نیز این مطلب به امکان در دست گرفتن کنترل بهتری از روش تصحیح استاتیکی هم کمک می کند.