دانلود تحقیق ریاضی عمومی

پیوستگی
6 . 1 مفاهیم اولیه پیوستگی
توابع پیوستگی از لحاظ دیداری، توابعی هستند که در هیچ نقطه‌ای پارگی نداشته باشند. مثلاً تابع رسم شده در شکل 6 . 1 . 1، در نقطه a و b و c پیوسته نیست و در بقیه نقاط پیوسته است.

(شکل 6. 1. 1)
6. 1 . 1 تعریف تابع f را در نقطه a پیوسته می‌گوئیم هرگاه، f(a) موجود باشد.

6. 1. 2 مثال فرض کنید تابع f به صورت زیر تعریف شده است.

اگر

پس f در پیوسته است. اما،

بنابراین f در a=1 پیوسته نیست. نمودار تابع در شکل 6. 1. 2 رسم شده است.

(شکل 6. 1. 2)
6. 1. 3 مثال در شکل نمودار تابع ، رسم شده است. شکل نشان می‌دهد که f‌ در پیوسته نیست.

(شکل 6. 1. 3)
6. 1. 4 تبصره فرق عمده‌ای بین ناپیوستگی تابع f‌ در مثال 6. 1. 2 و تابع g‌ در مثال 6. 1. 3 وجود دارد. اگر مقدار f را در نقطه ، 5 تعریف کنیم، یعنی قرار دهیم ، در این صورت تایع پیوسته می‌شود. ولی اگر را هر عددی اختیار کنیم، تابع نمی‌تواند پیوسته باشد.
اصطلاحاً ناپیوستگی f را رفع شدنی و ناپیوستگی g را رفع نشدنی می‌گوئیم.
6. 1. 5 تعریف اگر f تابعی باشد که حول یک همسایگی از a تعریف شده باشد و در نقطه a ناپیوسته باشد. ناپیوستگی f‌ را در نقطه a را رفع شدنی می‌گوئیم هرگاه موجود و متناهی بوده ولی . در غیر این صورت ناپیوستگی را رفع نشدنی می‌گوئیم.
در حالت ناپیوستگی رفع نشدنی، عدد را در صورت وجود جهش در نقطه می‌گوئیم.
6. 1. 6 مثال تعیین کنید کدام یک از توابع زیر در نقطه داده شده ناپیوستگی دارند و از چه نوع؟
در در نقطه
حل برای f داریم:

در نتیجه f ناپیوستگی از نوع رفع شدنی دارد.
در مورد g‌ می‌توان نوشت:

داریم در نتیجه موجود نیست. بنابراین g‌ ناپیوستگی از نوع رفع نشدنی دارد.
6. 1. 7 قضیه
الف) اگر f و g در نقطه a پیوسته باشند، آنگاه f+g ، f-g و fg نیز در نقطه a پیوسته هستند. و همینطور اگر نیز در a پیوسته است.
ب) اگر f در a پیوسته باشد و g‌ در f(a) پیوسته باشد آنگاه gof در a پیوسته است.
اثبات (الف) با توجه به قضیه‌های 5. 2. 5 و 5. 2. 6 واضح است. (ب) با توجه به قضیه 5. 2. 7 واضح است.
6. 1. 8 قضیه (پیوستگی توابع خاص)
1) توابع Sin x ، Cos x در هر نقطه پیوسته هستند.
2) توابع Cot x+ tan x در هر نقطه که تعریف شده باشند، پیوسته‌اند.
3) توابع چند جمله‌ای همه جا پیوسته‌اند.
4) توابع کسری در هر نقطه که تعریف شده باشند پیوسته هستند.
5) تابع ، اگر n فرد باشد همه جا پیوسته است ولی اگر n زوج باشد به ازای هر ، در a پیوسته است.
اثبات (1) و (2) از قضیه 5. 3. 5 نتیجه می‌شود، (3) از قضیه 5. 3. 1 نتیجه می‌شود، (4) با توجه به (3) و قضیه 6. 1. 7 اثبات می‌شود و (5) با توجه به قضیه 5. 3. 3 ثابت می‌شود.
6. 1. 9 مثال توابع زیر را در نظر بگیرید:
الف)
ب)
ج)
نقاط ناپیوستگی را در صورت وجود پیدا کنید، نوع آنها را مشخص کنید و جهش آنها را در نقاط ناپیوستگی، در صورت وجود بیابید.
حل (الف) تابع در فاصله‌های و پیوسته است. بنابراین، احتمالاً تابع در نقاط 3=x ، 1=x ناپیوستگی دارد. داریم:


و مقدار تابع در 1=x برابر است با
پس تابع در 1=x پیوسته است.
نقطه 3=x را در نظر بگیرید:


چون حد چپ و راست تابع در این نقطه برابر نیست، پس تابع در نقطه 3=x ناپیوستگی نوع رفع نشدنی دارد. جهش این تابع در این نقطه برابر است با:
(ب) داریم:


پس تابع در 3=x ناپیوستگی رفع نشدنی با جهش دارد.
(ج) تابع در تمام نقاط به جز پیوسته است.

پس تابع در ناپیوستگی رفع نشدنی با جهش دارد.
6. 1. 10 تعریف اگر یا یا هر دو موجود نباشد، می‌گوئیم تابع در ناپیوستگی اساسی دارد.
6. 1. 11 مثال در پیوستگی توابع زیر بحث کنید:
و و
حل با توجه به 5. 1. 13، وجود ندارد، لذا g‌ در 0=x ناپیوستگی اساسی دارد و در بقیه نقاط پیوسته است.
و چون و ، لذا f(x) همه جا پیوسته است و h(x) فقط در نقطه 0=x ناپیوستگی از نوع رفع شدنی دارد. (شکل 6. 1. 4)

(شکل 6. 1. 4)
6. 1. 11 مثال فرض کنید . b را طوری بیابید که f‌ در 0=x پیوسته باشد.
حل بایستی داشته باشیم . اما


بنابراین
مجموعه مسائل 6. 1
1. تابع را در نظر بگیرید. اولاً تابع در چه نقاطی پیوسته است. ثانیاً آیا می‌توان تابع را در نقطه 0=x طوری تعریف کرد که پیوسته گردد؟
2. نقاط ناپیوستگی و نوع آنها را برای تابع f تعیین کنید:

3. آیا a را می‌توان طوری انتخاب کرد که تابع ، در 0=x پیوسته شود.
4. آیا تابع در هر نقطه از بازه پیوسته است؟ تابع چطور؟
5. ثابت کنید:
الف) تابع D(x) در تمام نقاط ناپیوستگی اساسی دارد.
ب) تابع xD(x) در تمام نقاط بجز 0=x ناپیوستگی اساسی دارد و در 0=x پیوسته است.
ج) تابع در تمام نقاط بجز 1، 0=x ناپیوستگی اساسی دارد و در 1 ، 0=x پیوسته است.
6. آیا می‌توانید تابعی بسازید که در نقاط پیوسته باشد و در نقاط دیگر ناپیوستگی اساسی داشته باشد.
*7. ثابت کنید تابع در هر عدد گنگ پیوسته است و در اعداد گویا ناپیوستگی رفع شدنی دارد.
*8. ثابت کنید تابعی وجود ندارد که در هر عدد گنگ پیوسته باشد و در اعداد گویا ناپیوستگی اساسی داشته باشد.
9. فرض کنید f و g همه جا پیوسته باشد ثابت کنید و نیز چنین هستند.
توضیح: و به صورت زیر تعریف می‌شوند.


راهنمایی برای هر ، a داریم:

10. پیوستگی توابع مرکب و را بررسی کنید: