دانلود تحقیق ریاضیات مهندسی پیشرفته

آنالیز فوریه
تابع f(x) را تابع متناوب یا دوره ای می گوئیم (Periodic foretion) هرگاه عددی مثل 2L پیدا شود به قسمی که داشته باشیم f(x) = f(x + 2L)
2L f(x) = f(x + 2L)
2L = 2x Exampel : Sin x , Cos x
2L = x Exampel : tog x , Cot x





اگر توابعی متناوب باشند ولی Sin x و Cos x نیستند با استفاده از سری فوریه این توابع متناوب غیر سینوسی و غیر کسینوسی را بر حسب توابع سینوسی و کسینوسی به دست می آوریم . به عنوان مثال :







Sin x dx = Sin x dx = 0

Cos x dx = 2 Cos x dx =0

Sin mx . Cos nx dx = m, n به ازای هر

Sin mx . Sin nx dx =

Cos mx . Cos nx dx =

نکته : حاصلضرب هر عدد طبیعی 2L می شود دوره تناوب آن تابع

2L n(2L)
f(x) = Sinx Sinx = Sin(x + 2 ) = Sin(x + 2n )

به ازای n = 1 دوره به دست ‌آمده را دوره تناوب اصلی یا اساسی می گویند .

Sin mx دوره تناوب :
Sin 2Lx دوره تناوب :

X(- , ) t = ( - L , L)

Sin x Sin x dx

Sin x . Sin x dx =


c هر عدد حقیقی می تواند باشد ولی برای سادگی c را برابر صفر یا -L در نظر می گیریم .
جای تذکر این است که جواب مسئله نصف دوره تناوب است در این جا 2L است, نصف آن L است و در مواردی نیز یعنی در سینوس و کسینوس 2 بوده که نصف آن می باشد .


Cos x . Cos x dx =

Sin x . Cos x dx = 0

= v1 I + v2 j + v3 k = u1 I + u2 j + u3 k
. = Cos . = u1v1 + u2 v2 + u3 v3

. =

اگر بردار v بر بردار u عمود باشد مقدار صفر است یا تعبیر هندسی این که v بر u عمود است یا تصویر v بر بردار u یک نقطه است .

u v . = 0


u . u = 2 =

Sin nx , Cos mx Sin ix . Cos jx (x) = n

1 =
2 =

(x) . (x) dx = 0
این مجموعه توابع متعامد هستند


(x) dx = N نرم تابع

برای به دست آوردن بردار یکه توابع 1 , 2 داریم :

orthonomal مجموعه توابع یکه

به عنوان مثال مجموعه توابع یکه Sin x عبارتند از :



I و j و k را می توان پایه های یک مختصات سه بعدی هستند بردارهای یکه I و j و k مستقل از هم هستند یعنی نمی توان بر حسب همدیگر به دست ‌آورد, به عبارتی یکی را نمی توان بر حسب دیگری محاسبه نمود و به دست آورد .
نسبت مقدار تابع (مقدار ثابت), پس استقلال خطی دارد یعنی نمی توان پایه های مختصات یک دستگاه در نظر گرفت .

f(x) = + (an Cos x + bn Sin x )
رابطه بالا سری فوریه تابع f(x) نامیده می شود .
ضرایب اولیه فوریه :
A0 = f(x) dx = f(x) dx
An = f(x) Cos x dx = f(x) Cos x dx
Bn = f(x) Sin x dx = f(x) Sin x dx

f(x) = + (an Cos x + bn Sin x )
f(x) = + a1 Cos x + a2 Cos x + …… + an Cos x + …… + b1 Sin x
+ b2 Sin x + b3 Sin x + …….. + bn x + ……
از طرفین انتگرال می گیریم .

الف : f(x) dx = dx + a1 Cos x dx + a2 Cos x dx
+ …… + an Cos xdx + ……+ b1 Sin x dx

+ ……. + b2 Sin x dx + ……. + bn Sin x dx
+ …….


f (x) dx = x = = . 2L = La0

a0 = f (x) dx
a0 دو برابر مقدار میانگین تابع f (x) از بازه -L تا L تابع می باشد .


F (x) = f (x) dx



طرفین رابطه را در x Cos ضرب می کنیم :

f(x) Cos x dx = Cos x dx + a1 Cos x Cos x dx
+ a2 Cos x Cos x dx + ……………….
+ an Cos x Cos xdx + ………………….
+ b1 Sin x Cos x dx
+ b2 Sin x Cos x dx + ……………….
+ bn Sin x Cos x dx + ………………..
an . L an f (x) Cos x dx

برای به دست آوردن رابطه شماره 4 طرفین را به x Sin ضرب می کنیم و انتگرال می گیریم .
f (x) Sin x dx = Sin x dx + a1 Cos x Sin x dx
+ a2 Cos x Sin x dx + ……………………
+ an Cos x Sin x dx + ……………………
+ b1 Sin x Sin x dx
+ b2 Sin x Sin x dx + …………………….
+ bn Sin x

f (x) =




دوره تناوب 2L = - (- ) = 2 L =
A0 = - dx + x dx = - = - (0 – (- ) ) +
a0 = -1 +

an = f (x) Cos x dx = -1 . ( Cos x ) dx + x Cos xdx

an = - Cos n x dx + x Cox nx dx


an = - Sin nx
= ( Cos n - 1 ) = =

an = n odd به ازای

bn = -1 Sin nx dx = x Sin nx dx
= Cos nx
= - Cos = +
f (x) =

نکته : بسط توابع زوج شامل جملات کسینوسی است .
Piecewise Continvovs fonction (p . c) تابع پیوسته قطعه ائی
تابع f(x) را در بازه باز یا بسته a و b پیوسته قطعه ائی گوئیم هرگاه بتوان بازه a و b را به زیر بازه های کوچکتری تقسیم یا افراز کرد به قسمی که :
الف : f(x) در هر کدام از زیر بازه ها پیوسته باشد .
ب : حدچپ و حدراست f(x) در هر یک از زیر بازه ها مقدار معین یا محدودی باشد یا به عبارتی مقدار حد موجود باشد
به عنوان مثال اگر تابع زیر را در نظر بگیریم :


1 : f(x) =

تابع فوق در هر یک از زیر بازه ها وجود دارد ولی وقتی حد آن به یک میل می کند حد چپ و راست با هم برابر نیستند پس ما نمی توانیم برای آن سری فوریه به دست آوریم .