دانلود مقاله ریاضی کاربردی

فرض کنید تحقیقی در مورد گروهی از مریض‌ها انجام می‌شود، به طوری که احتیاج به یک رژیم غذایی دارند که بایستی حداقل 2000 کالری و حداقل 600 واحد ویتامین D مورد لزوم از دو خوراک I و II کسب شود. هر واحد از خوراک I دارای 40 کالری و 8 واحد ویتامین D است و هر واحد از خوراک II دارای 20 کالری و 12 واحد ویتامین D است در ضمن هزینه هر واحد خوراک I برابر 4 تومان و هزینه هر واحد خوراک II برابر 5 تومان می‌باشد. مسئله را به صورت یک برنامه‌ریزی خطی مدل‌بندی نمایید به طوری که ضمن کسب حداقل کالری و ویتامین D مورد لزوم مقدار هزینه مینیمم شود.
حل. تعریف می‌کنیم:
تعداد واحد خوراک نوع I که فرد خریداری می‌کند برای
اطلاعات مسئله را می‌توانیم به صورت یکی از جدولهای زیر خلاصه نماییم:

حداقل مورد نیاز خوراک I خوراک II
2000 20 4 کالری
600 12 8 ویتامین D
5 4 هزینه


هزینه هر واحد ویتامین D کالری
4 8 4 X1تعداد واحد خوراک I
5 12 20 X2 تعداد واحد خوراک II
600 2000 حداقل مورد نیاز

با استفاده از هر کدام از دو جدول فوق، مدل مسئله به صورت زیر قابل بیان است:


در یک کارگاه بشقاب‌سازی بشقاب در دو اندازه کوچک و بزرگ ساخته می‌شود برای ساخت یک بشقاب کوچک، یک دسیمتر مربع ورق استیل 5/1 نفر ساعت کار مورد نیاز است. در صورتی که برای ساخت یک بشقاب بزرگ دو دسیمتر مربع ورق استیل و 3 نفر کار مورد نیاز است. فروش هر بشقاب کوچک 30 تومان و فروش هر بشقاب بزرگ 50 تومان سود دارد. اگر در هفته 400 دسیمتر مربع ورق استیل و 500 نفر ساعت نیروی انسانی در اختیار داشته باشیم و هر تعداد بشقاب از هر نوع که تولید شود به فروش برسد یک مدل ریاضی برای مسئله بنویسید که تعیین کند در هر هفته از هر نوع بشقاب چه تعداد تولید می‌شود تا ضمن رعایت محدودیتهای منابع، سود حاصل از تولید ماکزیمم شود.
حل. تعریف می‌کنیم:
تعداد تولید هفتگی بشقاب نوع کوچک: x1
تعداد تولید هفتگی بشقاب نوع بزرگ: x2
مقدار در دسترس بزرگ کوچک
400 2 1 ورق استیل
500 3 5/1 نیروی انسانی
50 30 سود



در کارخانه‌ای دو نوع کالا تولید می‌شود. برای تولید هر واحد از نوع اول، 3 ساعت زمان و برای تولید هر واحد از نوع دوم، 2 ساعت زمان لازم است. کارخانه در 24 ساعت شبانه‌روز کار می‌کند و از طرفی ماده اولیه برای تولید حداکثر 10 واحد کالا از هر نوع داریم. هرگاه سود کالای نوع اول 400 تومان و سود کالای نوع دوم 300 تومان برای هر واحد باشد. از هر کالا چه تعدادی در شبانه روز تولید کنیم تا سود حاصل ماکزیمم شود. یک مدل ریاضی برای بیان مسئله بنویسید.
حل. تعریف می‌کنیم:
تعداد کالای نوع i برای


یک کارخانه تولیدی 5 ماشین رنگ‌کاری و یک ماشین پرس دارد. این ماشینها برای ساخت دو نوع محصول I و II به کار گرفته می‌شوند. با ترکیب یک واحد از I و یک واحد از II، یک محصول جدید به نام III‌ به دست می‌آید. میزان به‌کارگیری هر کدام از این ماشینها برای محصولات I و II در جدول زیر داده شده است.

مدت زمان مورد نیاز (دقیقه)
برای هر واحد
رنگ‌کاری پرس محصول
20
15 3
5 I

II

چگونگی تقسیم کار روی ماشین‌ها را تعیین کنید به طوریکه در مدت 8 ساعت کار، تعداد محصولات نهایی III ماکزیمم گردد. یک مدل ریاضی برای بیان مسئله بنویسید.
حل. تعریف می‌کنیم:
تعداد محصولات نوع I: x1
تعداد محصولات نوع II: x2
چون هر واحد از III از ترکیب یک واحد از I و یک واحد از II ساخته می‌شود بنابراین III به اندازه می‌تواند تولید شود که بایستی این مقدار را ماکزیمم نماییم.


چهار فرآورده به طور متوالی روی دو ماشین پردازش می‌شوند. مدت زمان برای پردازش هر واحد از فرآورده‌ها روی دو ماشین (بر حسب ساعت) در جدول زیر داده شده است:


زمان برای هر واحد (ساعت)
ماشین فرآورده 1 فرآورده 2 فرآورده 3 فراورده 4
1 2 3 4 2
2 3 2 1 2

هزینه کل تولید یک واحد از هر فرآورده مستقیماً با زمان مورد استفاده از ماشین متناسب می‌باشد. فرض کنید هزینه هر ساعت استفاده از ماشین‌های 1 و 2 به ترتیب برابر 10 و 15 تومان باشد. کل زمان در نظر گرفته شده برای تمام فرآورده‌ها روی ماشین‌های 1 و 2 برابر 500 و 300 ساعت است. اگر بهای فروش هر واحد از فرآورده‌های 1 و 2 و 3 و 4 به ترتیب برابر 65، 70، 55 و 45 تومان باشد، برای بیشینه ساختن سود خالص کل، یک مدل ریاضی برای بیان مسئله بنویسید.
حل. تعریف می‌کنیم:
میزان تولید فرآورده i‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ام برای


تولید کننده‌ای سه مدل (I، II و III) از فرآورده معینی را تولید می‌کند. او از دو نوع ماده خام (A و B ) که از آنها به ترتیب 2000 و 3000 واحد در دسترس دارد استفاده می‌نماید. مواد خام مورد نیاز برای هر واحد از سه مدل در زیر داده شده‌اند.


مقدار لازم برای هر واحد از مدل داده شده
ماده خام I II III
A 2 3 5
B 4 2 7

زمان کار مورد نیاز برای هر واحد از مدل I دو برابر زمان کار مدل II و سه برابر زمان کار مدل III می‌باشد. تمام نیروی کار کارخانه می‌تواند معادل 700 واحد از مدل I تولید کند برآوردی از بازار نشان می‌دهد که کمینه تقاضا برای سه مدل به ترتیب 200 و 200 و 150 واحد می‌باشد با وجود این نسبتهای تعداد واحد تولید شده باید به نسبت 5: 2: 3 باشند. فرض کنید که سود هر واحد از مدلها به ترتیب برابر با 30 و 20 و 50 تومان باشد. یک مدل ریاضی برای بیان مسئله بنویسید تا بتوانید تعداد تولید واحدهایی از هر فرآورده را که سود کل را بهینه می‌سازد به دست آورید.
حل. تعریف می‌کنیم:
میزان تولید محصول مدل نوع I برای

توجه داشته باشید که مجموع نسبتهای داده شده برابر 10 است که متغیرهای اول تا سوم به ترتیب نسبتهای 3، 2 و 5 از آن را به خود نسبت می‌دهند. لذا، مثلاً برای محصول نوع I داریم:

به همین نحو برای محصولهای دوم و سوم یک رابطه مشابه وجود دارد.


فرض کنید مقدار خوراک مورد نیاز در یک مرغداری 100 کیلوگرم در روز باشد. غذای ویژه باید شامل موارد زیر باشد:
1) کلسیم، حداقل 8/0 درصد و حداکثر 2/1 درصد
2) پروتئین، حداقل 22 درصد
3) الیاف خام، حداکثر 5 درصد
فرض کنید که اجزای ترکیبی مواد غذایی که مورد استفاده قرار می‌گیرند، عبارتند از سنگ آهک، ذرت و آرد سویا. محتوای غذایی این اجزای ترکیبی در جدول زیر داده شده‌اند.
جزء ترکیبی کلسیم پروتئین الیاف خام هزینه هر کیلو
سنگ آهک 38/0 0 0 4/16
ذرت 001/0 09/0 02/0 3/86
آرد سویا 001/0 5/0 08/0 125

یک مدل ریاضی برای بیان مسئله بنویسید به طوری که مشخص کند از هر جزء ترکیبی چه مقدار در بسته غذایی استفاده گردد تا ماده غذایی مورد نظر با حداقل هزینه تهیه شود، ضمن اینکه احتیاجات غذایی مورد نظر نیز برآورده گردد.
حل. تعریف می‌کنیم:
مقدار سنگ آهک مورد استفاده در بسته صد کیلویی: x1
مقدار ذرت مورد استفاده در بسته صد کیلویی: x2
مقدار آرد سویا مورد استفاده در بسته صد کیلویی: x3
بنابراین مدل برنامه‌ریزی خطی به صورت زیر خواهد بود: