متغیر تصادفی:
تابعی است از فضای نمونه به مجموعه اعداد حقیقی که به هر پیشامد ساده از فضای نمونه یک عدد حقیقی نسبت دهد.
تکیه گاه یک متغیر تصادفی:
مجموعه مقادیری که یک متغیر تصادفی اخذ می کند (برد متغیر تصادفی) را تکیه گاه یک متغیر تصادفی می گوییم.
متغیرهای تصادفی پیوسته و گسسته:
متغیر تصادفی پیوسته:
اگر تکیه گاه یک متغیر تصادفی به صورت یک فاصله از مجموعه اعداد حقیقی باشد متغیر متغیر تصادفی را از نوع گسسته گوییم.
متغیر تصادفی گسسته:
اگر تکیه گاه یک متغیر تصادفی به صورت یک مجموعه متتاهی یا یک مجموعه متناهی شما را باشد، متغیر تصادفی را از نوع گسسته گوییم.
مثال 1: سکه ای را آنقدر پرتاب می کنیم تا برای اولین بار شیر بیاید. اگر متغیر تصادفی x را برابر پیشامد زوج بودن شماره پرتاب های لازم تا مشاهده اولین شیر درنظر بگیریم، تکیه گاه و نوع متغیر تصادفی x را مشخص کنید.
نوع متغیر، تصادفی گسسته است.
مثال 2: از داخل دایره ای به شعاع R نقطه ای به تصادف انتخاب می کنیم و متغیر تصادفی y را برابر فاصله انتخابی تا مرکز دایره درنظر می گیریم. تکیه گاه و نوع این متغیر تصادفی را بیابید.
نوع آن پیوسته است.
توابع تصادفی در حالت پیوسته و گسسته
• تابع احتمال در حالت گسسته: تابعی که توزیع احتمال را روی تکیه گاه یک متغیر تصادفی مشخص می کند را تابع احتمال متغیر تصادفی گسسته گوییم که معمولاً با علامت نمایش می دهیم.
ویژگی های تابع احتمال گسسته
1.
2.
مثال 3: تابع زیر را درنظر بگیرید:
الف) مقدار k را چنان بیابید که تابع احتمال متغیر تصادفی گسسته y باشد.
ب) احتمالات زیر را بیابید.
الف)
ب)
مثال 4: ظرفی محتوی 2 مهره سیاه و 3 مهره سفید است. از داخل ظرف 3 مهره انتخاب می کنیم. اگر X نشان دهنده تعداد مهره های سفید در بین 3 مهره انتخابی باشد، تابع چگالی احتمال X را در حالت های زیر بیابید.
الف) مهره ها با جایگزینی انتخاب شوند.
ب) مهره ها با هم خارج شوند.
الف:
ب:
• تابع احتمال در حالت پیوسته: تابعی که چگونگی توزیع احتمال را برای متغیر تصادفی پیوسته X روی تکیه گاه آن مشخص می کند را تابع احتمال متغیر تصادفی پیوسته X گوییم که آن را با علامت نمایش می دهیم.
ویژگی های تابع احتمال پیوسته
1.
2.
نکته: در صورت مشخص بودن تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی x، آنگاه احتمال اینکه X بین دو مقدار a, b قرار گیرد برابر است با:
مثال 5: متغیر تصادفی x دارای تابع چگالی احتمال زیر می باشد. مطلوب است:
الف) مقدار K.
ب) احتمال پیشامد را بر حسب a.
ج) احتمال پیشامد .