METHODS
«روش‌های تفاضل متناهی»
روابط واضح یا غیرواضح بین مشتقات و مقادیر توابع در نقاط آغازی وجود دارد.
نقاط آغازی بر روی [a,b] می تواند به وسیله [j= 1,2,…,N] و xj= a+jh به طوریکه ، ، در نظر گرفته شود.
این عبارت برای مشتقات تحت شرایط مقادیر تابعی است.
جواب مسأله مقدار مرزی یک تفاضل متناهی بوسیله جایگذاری معادله دیفرانسیل در هر نقطه آغازین به وسیله یک معادله تفاضلی بدست می آید.
با در نظر گرفتن شرایط مرزی در معادلات تفاضلی، سیستم جبری معادلات مورد حصول حل می شود، این یک جواب عددی تخمینی برای مسأله مقدار مرزی بدست می دهد.
- Linear Second Order Differential Equations
[معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم] [صفحه 5, 4 ]
به معادله دیفرانسیل مرتبه دوم زیر توجه می کنیم:
، (46)
در رابطه با شرایط مرزی نوع اول: ، (47)
مقدار قطعی u(m) از با مشخص شده و مقدار تقریبی آن با ، با استفاده از سریهای تیلورها می توانیم مشخص کنیم که:
( .42)
به طوری که و
(49)
به طوری که
ما فرض کردیم که پیوستگی بدین صورت است:
به طوری که .
با در نظر گرفتن شرایط در 48 ، 49 و جایگذاری در 46 ، تفاضل تقریبی متناهی معادله دیفرانسیل مذکور در به صورت زیر است:
( .50)
شرایط مرزی ( .42) به صورت زیر تبدیل می شود:
( .51)
پس از ضرب با ، ( .50) می تواند به صورت زیر نوشته شود:
و ( .52)
به طوری که:
و و
سیستم ( .52) در نوشتار ماتریسی، پس از لحاظ شرایط مرزی، تبدیل می‌شود به:
( .53) Au=b
به طوری که:
حل سیستم معادلات خطی ( .53) جواب تفاضل متناهی معادله دیفرانسیل ( .46) را ارائه می دهد که پاسخگوی شرایط مرزی مدنظر است.
اشتباه بریدگی داخلی. (p.565) (خطای برش)
غلط بریدگی داخلی از معادله ( .52) بوسیله
( .54)
نشان داده می شود. به طوری که
بسط هر شرط در طرف اول معادله ( .54) در سری تیلور آن مول ، بدست می دهد:
( .55)
به طوری که .
بنابراین روش مذکور، روش حل معادله مرتبه دوم می باشد.
شرایط مرزی اشتقاقی: (p.596)
هم اکنون توجه خود را به شرایط مرزی نوع سوم معطوف می کنیم:
( .56)
تفاضل تقریبی معادله دیفرانسیل ( .46) در گره‌های داخلی j=1,2,…,N ، بوسیله معادله ( .52) داده شده که دارای N+2 مجموع در N معادله می‌باشد. هم اکنون ما نیاز داریم دو یا چند معادله متناظر برای شرایط مرزی ( .56) بیابیم.
با حذف شرایط در ( .48) ، تفاضل تقریبی متناهی ( .56) به صورت زیر می باشد:
در : یا
( .57)
در یا
( .58)
به طوری که و ، مقادیر تابعی در و می باشند. گره‌های و خارج از بازه [a,b] قرار دارند و گره‌های غیرواقعی خوانده می‌شوند:
دیفرانسیل:
مقادیر و می توانند با این فرض که معادله تفاضلی ( .52) برای N+1 و j= 0 در نقاط مرزی و باقی می ماند و می تواند نادیده گرفته شود.
جایگذاری مقادیر و در ( .57) و ( .58) در معادلات ( .52) به ازای N+1 و j= 0 ما را می رساند به:
( .59)
معادلات ، ( .52) ، و یک سیستم سه‌گانه از معادلات بوجود می آورند.
تا زمانی که تفاضل تقریبی ( .52) برای معادله دیفرانسیل ( .46) و تفاضلات تقریبی ( .59) برای شرایط مرزی ( .56) ، همگی مرتبه دوم هستند. تمام معادلات برای ، همچنین مرتبه دوم هستند.
به طور متقابل، ما نمی توانیم از نقاط غیرواقعی ، استفاده کنیم. در این مورد ما می توانیم از تقریب های زیر استفاده کنیم:
یا
( .60)
( .61)
یا
تا زمانی که تقریب های ( .60) ، ( .61) از نوع اول هستند، تمام معادلات
( .60) ، (7.62) و (7.61) برای j= 0,…,N+1 نمی توانند مرتبه دوم بمانند. این معادلات همچنین یک دستگاه معادلات تشکیل می دهند.
یا
( .62)