منحنیها در حالت کلّی – فرم پارامتری یک منحنی:
در ابتدا می‌خواهیم فرم پارامتری یک منحنی را مشخص کنیم. لذا لازم است که درشروع، پارامتر را معرفی می‌کنیم:
فرض می‌کنیم c نمودار تابع پیوسته‌ی و p یک نقطه‌ی متغیر روی این منحنی باشد. t را به عنوان یک پارامتر انتخاب می‌کنیم، هرگاه تغییر مکان، نقطه‌ی p روی منحنی c به‌وسیله‌ی t به طور منحصر به فردی تعیین گردد.
مثلاً در شکل فوق، می‌توان موقعیت p را با مقادیر تعیین کرد یا حتی با ، موضع p مشخص می‌شود؛ زیرا با معلوم بودن و یا مقدار t را به طور منحصر به فردی مشخص می‌شود و در نتیجه موضع p به عنوان تابعی از t مستلزم تعیین به صورت توابعی از t است. لذا جفت معادله‌ی و معادلات پارامتری منحنی c خوانده می‌شوند. زیرا با تغییر منحنی c حاصل می‌شود. در این جا فرض می‌کنیم که دارای یک قلمرو بوده و بر این قلمرو پیوسته می‌باشد.
مثال(1) منحنی به معادله‌ی قطبی و را می‌توان با توجه به اینکه و به فرم پارامتری زیر نشان داد:
و که زاویهی به عنوان پارامتر مشخص شده است.
مثال(2)در نظر بگیرید معادله‌ی دایره‌ی دارای نمایش پارامتری به صورت و است که زاویه‌ای است که با جهت مثبت محور xها می‌سازد؛ زیرا هر t، p منحصر به فردی را مشخص می‌کند و یا حتی
و همان دایره‌ی را نمایش می‌دهد.
همچنین می‌توان برای معادله‌ی فوق، طول قوس را به عنوان پارامتر در نظر بگیریم؛ زیرا هر s یک p منحصر به فرد را معلوم می‌کند. داریم: و بنابراین:
c=
که فرم پارامتری دایره‌ی بر حسب پارامتر طول قوس می‌باشد.
مثال(3) منحنی و یک بیضی است، اگر که و باشند.
حل: از خذف t از دو معادله‌ی بالا داریم و
و در نتیجه:
که معادله یک بیضی است.
مثال(4) منحنی و که در آن هر دو مثبت‌اند را در نظر می‌گیریم.
حل: با حذف t از دو معادله داریم: و
بنابراین: که معادله هذلولی است.
مثال(5) فرض کنیم که یک دایره به شعاع در امتداد یک خط افقی بدون لغزش، بغلطد. فرم پارامتری منحنی‌ای را بیابید که به‌وسیله‌ی نقطه‌ی p از محیط آن رسم می‌شود.
حل: با فرض اینکه خط افقی محور xها زاویهی دوران دایره باشد، با توجه به شکل داریم:
اما مساوی طول قوس است؛ چرا که دایره بدون لغزش می‌غلطد. بنابراین است.
لذا است و اما :
توجه کنید که این منحنی نمودار یک تابع متناوب با دوره‌ی تناوب مثل است. این منحنی که توسط p به‌وجود می‌آید، )) نام دارد و نشان دادیم که دارای این معادلات پارامتری است:
و
قضیه (1):منحنی و را که در آن fو g در بازه‌ی باز مشتق پذیرند را در نظر بگیرید. فرض می‌کنیم که در تغییر علامت نمی‌دهد یا صفر نمی‌شود. در این صورت منحنی و نمودار یک تابع مشتق‌پذیر مانند و است و
اگر توابع f و g، nبار مشتق پذیر باشند، نیز چنین است.
قضیه‌ی (2): فرض می‌کنیم که c یک منحنی با معادلات پارامتر ی و بوده و توابع و در موجود و پیوسته باشند، در این صورت با طول متناهی است و :
(1) dt
مثال(6) می‌خواهیم طول یعنی (محیط) دایره‌ی و را به‌دست آوریم.
حل:
تذکر: اگر c نمدار تابع باشد، می‌توان معادلات پارامتری و را برای آن در نظر گرفت. طبق فرمول (1) :
dt است و یا معادلاً (2) که رابطه‌ای بسیار مفیدی برای یافتن طول منحنی می‌باشد.
تست(1) طول منحنی c نیم دایره‌ای کدام است؟
1) 2) 3) 4)
حل: گزینه‌ی (1)؛
چون است، خواهیم داشت:
مثال(7) اگر c دارای نمودار قطبی باشد، فرم پارامتری آن عبارت است از : و
از این‌ها نتیجه می‌شود: =
در نتیجه
بنابراین: (3)
و یا: (4)
تست (2): طول منحنی دلگون c به معادله‌ی کدام است؟
1)8 2)10 3)16 4)20
حل: گزینه‌ی (3)؛
با توجه به تقارن نسبت به محور xها داریم: