«همانگونه که واژه های زبان، ما را از عقیده دیگران آگاه می کند: نمادهای ریاضی، یعنی نشانه های زبان ریاضی هم، وسیله ای است برای اینکه نظر خود را کامل تر، ساده تر و دقیق تر به دیگران بفهمانیم ومفهوم تازه خود را در برابر دیگران بگذاریم»
لوباچفسکی
مقدمه
هندسه هم مانند حساب، یکی از کهن ترین بخش های دانش ریاضیات است.تاریخ پیدایش آن در ژرفای سده های گذشته است.هندسه در دنیای کهن،بیشتر جنبه کاربردی داشته است و این دوران خود را، که طولانی ترین دوران تکامل آن است، در ایلام، بابل،مصر،چین و در واقع در همه سرزمین های گذرانده است و همه ملت ها در ارتباط بااندازه گیری، به ویژه اندازه گیری زمین های کشاورزی، در ساختن مفهوم های هندسی دخالت داشته اند.
مفهوم اصل،قضیه ودیدگاه اقلیدس:
«اصل» در هندسه، به حکمی گفته می شود که بدون اثبات پذیرفته شود؛ در واقع درستی آن با تجربه سده های متوالی تایید می شود.حکم هایی که به یاری اصل ها ثابت می شوند،« قضیه » نام گرفته اند. اثبات،عبارت از استدلالی است که به یاری آن و به یاری اصل ها، می توان قضیه را ثابت کرد.قضیه،ترجمه ای از واژه یونانی «ته ئورم» که به معنای «اندیشیدن» است.
اصل ها و قضیه ها را برای نخستین بار،دانشمندان یونانی وارد دانش کردند. ارشمیدس(سده سوم پیش از میلاد) در کتاب های خود،بارها از اصل وقضیه استفاده کرده است. تاسرانجام اقلیدس(سده سوم پیش از میلاد) در«مقدمات» خود در سیزده کتاب اصل هاو قضیه های هندسی را منظم کرده است.
«مقدمات اقلیدس» تنها کتابی است که در طول نزدیک دو هزار سال پس از او، هندسه را به دیگران آموخته است.حتی امروز هم، هندسه دبیرستانی بر اساس مقدمات اقلیدس است.
برخی از اصل ها را ،اقلیدس «پوستولا» (خواست)نامیده است. برای نمونه،نخستین پوسترلا در «مقدمات» اقلیدس، به این ترتیب تنظیم شده است: «دو نقطه را میتوان به وسیله خط راست به هم وصل کرد.»
به ظاهر، پوستولاهای اقلیدس،ویژه هندسه است. او اصل هایی را که عمومی ترند ودر دانش های دیگر هم به کار می روند «آکسیوم» می نامد. امروز همه اصل ها(آکسیوم ها وپوستولاها) را «آکسیوم» می نامند که در زبان فارسی، به «اصل موضوع» معروف اند.
• معمای اصل پنجم اقلیدس
در طول بیش از دو هزارسال، دانشمندان گمان می کردند که هندسه ای جز هندسه اقلیدسی وجود ندارد. براساس این تصور، ریاضیدانان تلاش می کردند پوستولاهای اقلیدس را از دیگر اصل های موضوع نتیجه بگیرند. تغییر یافته پوستولای پنجم اقلیدس به وسیله «پولی فر» چنین می گوید: از یک نقطه بیرون از یک خط راست، نمی توان دو خط راست موازی با خط راست مفروض رسم کرد.ولی همه تلاش ها برای اثبات این اصل موضوع ناکام ماند.
ریاضیدانان ایرانی از جمله فضل حاتم نیریزی وعمر خیام، در این راه کوشیدند؛ ولی نتیجه این شد که اصل موضوع دیگری را به جای اصل موضوع اقلیدس قرا دادند. خیام در کتاب خود که به این موضوع اختصاص دارد، چهارضلعی های دو قائمه متساوی الساقین را مطرح می کند. او از چهارضلعی هایی صحبت می کند که دو ضلع رو به رو با هم برابر وبر قاعده عمود باشند.بعد ابتدا ثابت می کند، دو زاویه دیگر این چهارضلعی باهم برابرند وبا جانشین کردن اصل دیگری به جای پوستولای پنجم اقلیدس،حاده یامنفرجه بدون دو زاویه دیگر را رد می کند. طرح خیام به وسیله نصیرطوسی به کشورهای اروپایی می رود. از جمله ساکری ریاضیدان ایتالیایی، با طرح همان چهارضلعی ها تلاش می کند اصل موضوع اقلیدس را ثابت کند؛ ولی به نتیجه ای نمی رسد.
• نیکلای ایوانوویچ لوباچفسکی (1792-1856)
او را در روسیه متولد شد، پدرش کارمند دولت و مساح زمین بود، وی خیلی زود پدرش را از دست داد.
مادرش وی را ابتدا به دبیرستان قازان و وقتی دبیرستان را تمام کرد، به دانشگاه قازان فرستاد، موفقیت های درخشان او در ریاضیات، خیلی زود نظر استادان را به خود جلب کرد.