به نام ایزد منان
مشتق و مفاهیم
1- از تعریف مشتق استفاده کنید و فرمول مشتق حاصلضرب (uv) دو تابع مشتقپذیر u و v را بیابید.
2- مشتق تابع زیر را بیابید.
3- را بیابید.
4- اگر را بیابید. برای اینکه مشتق وجود داشته باشد، چه محدودیتهایی باید برای دامنه‌ی a قائل شویم؟
5- با توجه به تعریف مشتق تابع، در نقطه‌ی x=1 مقدار را بدست آورید.
6- در تابع مقدار را بدست آورید.
7- مشتق تابع را بدست آورید.
8- نشان دهید که تابع در معادله‌ی زیر صدق می‌کند:
9- توابع مفروض‌اند. آیا این توابع در x=0 مشتق دارند؟ در صورت وجود آنها را تعیین کنید.
10- نشان دهید که تابع که در آن تابع Q(x) پیوسته است و ، در نقطه‌ی x=a مشتق ندارد. مشتق‌های چپ و راست را در این نقطه بیابید.
11- مشتق توابع زیر را از تعریف مشتق حساب کنید.
12- تابع f(x)= xsgnx چطور باید در x=0 تعریف شود که در این نقطه پیوسته باشد؟ آیا در این صورت در این نقطه مشتقپذیر است؟
13- نشان دهید که مشتق یک تابع مشتقپذیر فرد، زوج بوده و مشتق یک تابع مشتقپذیر زوج، فرد است؟
14- با استفاده از تفاضل مکعبات: مشتق را مستقیما از تعریف مشتق حساب کنید.
15- تابع در کجا مشتقپذیر نیست؟
16- مشتق توابع داده شده را حساب کنید.
17- مشتق زیر را بیابید.
خطوط مماس و شیب آنها:
18- معادله‌ی خط مماس بر منحنی داده شده در نقطه‌ی ذکر شده را بیابید.
در
در
19- شیب منحنی در نقطه‌ی را بیابید. معادله‌ی خط مماس بر به شیب 3- چیست؟
20- خط x+y=k به ازای چه مقدار از ثابت k به منحنی قائم است؟
21- آ) شیب در نقطه‌ی x=a را بیابید.
ب) معادلات خطوط مستقیم به شیب 3 و مماس بر را بیابید.
22- آیا نمودار تابع f در نقاط داده شده خط مماس دارند؟ اگر چنین است، خط مماس چیست؟
در x=1
23- معادله‌ی خط مماس بر منحنی در را بیابید.
24- نشان دهید که منحنی دو مماس دارد که از نقطه‌ی محور x می‌گذرد.
25- نشان دهید که نمودار در مبدأ دارای مماس نیست.
26- آیا منحنی داده شده دو مماس عمود بر هم دارد؟
27- در چه نقطه از منحنی مماس بر خط y=x عمود است؟
28- به ازای چه مقادیری از b,m، تابع
در a مشتق پذیر است؟
29- منحنی مماسی دارد که از (1و0) می‌گذرد. آن را بیابید.
30- معادلات خط مماس و خط قائم به منحنیهای زیر را بنویسید:
به سهمی در نقطه‌ای به طول، 5/0-= x.
31- معادلات خطوط مماس به منحنی را در نقاط تلاقی با سهمی را بنویسید.
32- نشان دهید که تابع در نقطه‌ی x=0 خط مماس ندارد. زاویه‌ی بین خطوط مماس چپ و راست در این نقطه چقدر است؟
33- خط y=3x+b بر خم مماس است. مقدار b و نقطه‌ی تماس را بیابید.
34- معادله‌ی خط عمود بر مماس بر خم در نقطه‌ی (3و2) را بیابید.
35- خمهای و در نقطه‌ی (0و1) بر هم مماس‌اند. مطلوبست تعیین c,b,a.
36- مطلوبست طول از مبدأ و عرض از مبدأ خط مماس بر خط در .
37- خط قائم بر خم در (0و1) آن را در چه نقاط دیگری قطع می‌کند؟
38- نشان دهید که قائم بر دایره‌ای در هر نقطه‌ی ( ) از مرکز می‌گذرد.
39- شیب را در مبدأ بیابید. معادله‌ی خط مماس در مبدأ را تعیین کنید.
قاعده‌ی زنجیری
40- اگر و را بر حسب t بیان کنید.
41- با استفاده از قاعده‌ی زنجیری، را بیابید و نتیجه را بر حسب t بیان کنید.
42- اگر ، ، را بیابید.
43- اگر و ، را بیابید.
44- اگر و و را بیابید.
45- اگر و و را بیابید.
46- مقدار (d/dt)(gof) را به ازای tی داده شده بیابید.