دانلود تحقیق نامعادلات

فصل اول
معادلات گویا، اصم و نامعادله
بخش اول:
تعیین علامت چندجمله‌ای‌ها
تعریف: منظور از تعیین علامت چندجمله‌ای، آن است که بدانیم آن چندجمله‌ای به ازای چه مقادیری برای متغیر آن (x) مثبت یا منفی یا صفر است.
الف) تعیین علامت دو جمله‌ای درجه اول:
ابتدا ریشه آن را بدست می‌آوریم. سپس در جدول زیر علامت آن را تعیین می‌کنیم.
+ x1 -
x
موافق ضریب x | مخالف ضریب x p
مثال) تعیین علامت کنید.
P=10-5x P=-0.1x+7
P=2x+8 p=1-1/2x
ریشه ساده: ریشه‌ای که فرد دفعه در معادله تکرار شود.
ریشه مضاعف: ریشه‌ای که زوج دفعه در معادله تکرار شود.
تذکر 1) در جدول تعیین علامت، در دو طرف ریشه مضاعف یک علامت تکرار می‌شود.
تذکر 2) عبارت داخل قدر مطلق و عبارت داخل پرانتز با توان زوج دارای ریشه مضاعف می‌باشند.
مثال) تعیین علامت کنید.
P=|2x-10| P=-|2x+3| P=(4-3x)8
P=(5-3x)7 P=-7x2
تعیین علامت عبارات حاصلضرب یا تقسیم
پس از ریشه‌یابی، ریشه‌ها را به ترتیب از کوچک به بزرگ در یک سطح و هر عبارت را جداگانه تعیین علامت می‌کنیم. از حاصل‌ضرب عمودی علائم هر ستون علامت عبارت بدست می‌آید. ضمن اینکه اگر ریشه‌ای مخرج کسر را صفر کند، در سطر پایین جدول «ن» می‌نویسیم.
مثال) تعیین علامت کنید.
P=4x(x+3)(2-x) P=(3x+6)(1-2x)
P=[(1-x)3(2x+1)4]/[(-5x|x+2|)] P=[x2(1-2x)]/[(|x+3|)]
P=[x(3x-1)]/[(2-5x)(-x+1)] P=[(3-6x)]/[2x(-x-5)]
ب) تعیین علامت سه جمله‌ای درجه دوم:
ابتدا عبارت را ریشه‌یابی می‌کنیم و با توجه به حالت‌های زیر، در جدول مربوط به تعیین علامت می‌شوند.
حالت اول: معادله دو ریشه حقیق متمایز دارد (Δ>0)
+ x1 x1 -
x
موافق a | مخالف a | موافق a p


حالت دوم: معادله یک ریشه مضاعف دارد (Δ=0)
+ x1 -
x
موافق ضریب a | موافق ضریب a p
حالت سوم: معادله ریشه ندارد
+ -
x
موافق ضریب a p

مثال) تعیین علامت کنید.
P=-2x2+5x P=2x2+3x-5
P=4x2+4x+1 P=x2-2x-3
P=1-x+x2 P=2x2-x-x
P=[(x2-7x+12)]/(|x|(1-2x))] P=[(x2-4)]/[(x2-2x)(1-x2)]
ج) تعیین علامت به کمک رسم نمودار:
ابتدا نمودار داده شده را رسم می‌کنیم. سپس:
• به ازای مقادیری که نمودار بالای محور xها قرار می‌گیرد، علامت آن مثبت؛
• به ازای مقادیری که نمودار روی محور xها قرار می‌گیرد، مقدار آن صفر؛
• به ازای مقادیری که نمودار زیر محور xها قرر می‌گیرد، علامت آن منفی است.
مثال) به کمک رسم نمودار، عبارات زیر را تعیین علامت کنید.
y=-1/2x+1
y=3x-3
y=x2-4x+4
نکته:
• شرط آنکه سه جمله‌ای درجه 2 همواره مثبت باشد: a>o, Δ
• شرط آنکه سه جمله‌ای درجه 2 همواره نامنفی باشد: a>o, Δ=o؛
• شرط آنکه سه جمله‌ای درجه 2 همواره منفی باشد: a
• شرط آنکه سه جمله‌ای درجه 2 همواره نامثبت باشد: a
مثال) نشان دهید عبارت –x2+2x-3 به ازای جمیع مقادیر x منفی است.
مثال) حدود m را طوری بیابید که عبارت (1-m)x2+3x-4 همواره مثبت است.
مثال) حدود m را طوری بیابید که عبارت A=x2+mx+1^2 همواره تعریف شده باشد.
مثال) حدود m را طوری بیابید که عبارت P=mx2-3x+15 همواره مثبت باشد.
مثال) حدود m را طوری بیابید که عبارت P=(m-1)x2-2mx+(m-2) همواره منفی باشد.
مثال) حدود m را طوری بیابید که عبارت P=-x2+2x+2m-3 همواره مثبت باشد.
تعیین علامت هر عبارت از هر درجه در یک سطر
ابتدا ریشه‌یابی و ساده یا مضاعف بودن آن را معلوم و در یک سطر از چپ به راست در جدول قرار می‌دهیم. سپس از هر عبارت علامت ضرب بزرگترین جمله را درنظر گرفته و در یکدیگر ضرب می‌کنیم تا اولین علامت جدول از سمت راست معلوم شود. بعد از هر ریشه ساده، علامت را تغییر می‌دهیم و بعد از هر ریشه مضاعف علامت را تغییر نمی‌دهیم.