تحقیق ماتریس

مقدمه :

شاید یکی از کاربردی ترین مفاهیم و مباحث ریاضی ، مبحث مربوط به ماتریس است که از آن به عنوان ابزاری قوی در مباحث دیگر ریاضیات و بخصوص در فیزیک کوانتم[1] و علومی چون آمار ، حسابداری و ........ استفاده می وشد . امروزه ماتریس ها یکی از ابزارهای اساسی محاسبات علمی ریاضیات به حساب می روند و در واقع ، نقش امروز ماتریس ها در ریاضیات و پیشبرد آن ، مانند نقش دیروز اعداد است . ریاضیات کاربردی ، در تمام شاخه ها ، نیاز مبرم به ماتریس دارد ،  به خصوص که در بیش تر موارد حل مسائل عملی به نوعی با حل دستگاه های معادلات یا نامعادلات پیوند می خورد که حل چنین دستگاه هایی با ماتریس ها ارتباط تنگاتنگ دارد . ا زاین ور ، این مبحث حتی در سطح دبیرستان  نیز از اهمیت ویژه ای برخوردار است ، به طوری که هم در کتاب درسی ریاضیات سال دوم ، هم در هندسه ی تحلیلی و جبر خطی دوره ی پیش دانشگاهی و هم در کتاب های ریاضی عمومی رشته های مهندسی از آن استفاده شده است . لذا ، با مطالعه و یادگیری مفاهیم مربوط به ماتریس ها و کاربرد آن ها ، یکی از جالب ترین و در عین حال ، مفید ترین موضوعات ریاضی بررسی خواهد شد .

تعریف ماتریس : بر اساس تعریفی که اولین بار یک ریاضیدان انگلیسی به نام «کیلی» برای ماتریس ارائه داد ،  «ماتریس ، آرایشی از اعداد حقیقی است که روی سطرها و ستون های منظم قرار گرفته و با دو کروشه محصور شده باشند .» هر یک از اعداد حقیقی موجود در یک ماتریس را یک درایه یا عنصر آن ماتریس می نامند .

هر یک از آرایش های زیر یک ماتریس است : (ماتریس ها را با حروف بزرگ نشان می دهیم . )

هر درایه در یک ماتریس ، در تقاطع یک سطر با یک ستون قرار دارد ، مثلاً در ماتریس A ، عدد 2 در تقاطع سطر اول با ستون دوم قرار دارد و یا در ماتریس B ، عدد  در تقاطع سطر دوم و ستون دوم واقع است که در واقع ، جایگاه هر درایه در هر ماتریس با همین تقاطع ها مشخص و برای هر درایه در هر ماتریس دو اندیس در نظر گرفته می شود که اولی سطر و دومی ستون مربوط به آن درایه را معلوم می کند . برای مثال ، وقتی می نویسیم  یعنی درایه ی روی سطر دوم و ستون سوم و برای هر ماتریس نیز دو اندیس در نظر گرفته می شود که اندیس اول ( از چپ ) تعداد سطرها و اندیس دوم تعداد ستون های آن ماتریس را نشان می دهد . برای مثال اگر B ماتریسی با دو سطر و سه ستون باشد ، می نویسیم  و می گوییم « B ماتریسی 2 در 3 » یا «از مرتبه ی 2 در 3 » است ، و در حالت کلی اگر A ماتریسی  باشد ، داریم :

برای راحتی در نوشتن و انجام عملیات بعدی روی ماتریس ها ،  را درایه ی عمومی نامیده و هر ماتریس (مانند A) را با درایه ی عمومی به صورت  نمایش می دهیم که در آن ،  است.

مثال 1: ماتریس  که در آن برای هر  داریم  ، به صورت زیر مشخص می شود .

مثال 2 : ماتریس  که در آن برای هر  داریم  (علامت  معرف جزء صحیح است ) ، به صورت زیر مشخص می شود .

تساوی دو ماتریس : دو ماتریس B,A را مساوی می نامیم و می نویسیم A,B را مساوی می نامیم و می نویسیم A=B ، هرگاه A,B هم مرتبه و درایه های آن ها نظیر با هم برابر باشند ، یعنی اگر  ، در این صورت :

مثال : هرگاه   ، در این صورت ، حاصل  را به دست آورید .

ماتریس های خاص

1-ماتریس بعدی : ماتریسی که تعداد سطرها و ستون های آن با هم برابر باشد. ماتریس مربعی که دارای n سطر و n ستون باشد ، ماتریس مربعی از مرتبه ی n نامیده می شود .

تذکر 1: در هر ماتریس مربعی از مرتبه ی n قطر اصلی شامل درایه های شد  است.

تذکر 2 : در هر ماتریس مربعی از مرتبه ی n داریم :

                         روی قطر اصلی قرار دارد

              بالای قطر اصلی قرار دارد

              پایین قطر اصلی قرار دارد

             روی قطر فرعی قرار دارد

تذکر 3 (اثر ماتریس ) : اگر A یک ماتریس مربعی از مرتبه ی n باشد ، مجموع درایه های روی قطر اصلی A را اثر ماتریس A می نامیم و با نماد trace (A) نمایش دهیم:

2- ماتریس ستونی : ماتریسی که فقط یک ستون داشته باشد .

اگر A ماتریسی ستونی با m سطر باشد ، داریم :

3- ماتریس سطری : ماتریسی که فقط یک سطر داشته باشد .

1- هایزنبرگ ، اولین کسی که ماتریس ها را در فیزیک به کار برد ، می گوید : « تنها ابزاری که من در مکانیک کوانتم نیاز دارم ماتریس هاست»