تحقیق مبحث تابع

تعریف زوج مرتب:

هر دسته متشکل از دو عنصر با ترتیب معین را یک زوج مرتب گویند. مانند زوچ مرتب (x,y) که x را مؤلفه اول مختص اول یا متغیر آزاد گویند و y را مؤلفه دوم مختص دوم متغیر وابسته( تابع) یا تصویر گویند و نمایش هندسی آن نقطه‌ای در صفحه مختصات قائم است که طول آن برابر x و عرض آن برابر y است.

 تساوی بین دو زوج مرتب:

 دو زوج مرتب با یکدیگر مساوی‌اند اگر دو نقطه اگر مؤلفه‌های نظیر‌به‌نظیر آنها با هم برابر باشند یعنی:

مثال: از تساوی زیر مقادیر x,y را بیابید:

تعریف حاصل‌ضرب دکارتی دو مجموعه :

 حاصلضرب دکارتی در مجموعه B,A که با نماد   نشان داده می‌شود عبارت است از مجموعه تمام زوج‌ مرتبه‌هائی که مؤلفه اول آنها از A و مؤلفه دوم آنها از B باشد یعنی:

مثال: حاصلضرب دکارتی   درهر یک از مثالهای زیر را بصورت مجموعه‌ای از زوجهای مرتب بنویسید و نمودار آن را در دستگاه محورهای مختصات قائم رسم نمائید:

(1             

(2 

نمودار حاصلضرب دکارتی مجموعه‌های داده شده زیر را در دستگاه محورهای مختصات قائم رسم کنید.

  ویژگی‌های حاصلضرب دکارتی مجموعه‌ها :

  فضای دوبعدی ( صفحه)    3)                     

تضاد زوج های مرتب:

تعریف ریاضی رابطه:

 اگر B,A دو مجموعه دلخواه باشند هر زیرمجموعه از حاصلضرب دکارتی  را یک رابطه از A در B گویند اگر f یک زیرمجموعه از  باشد گویند. F یک رابطه از A در B است به عبارت دیگر رابطه Fمجموعه تمام زوج مرتب‌های  است که مؤلفه‌های اول و دوم آن با شرایطی خاص( قانون یا ضابطه خاص) به یکدیگر مربوط می‌شوند. به بیان دیگر رابطه f زیرمجموعه‌ای از   است که با ضابطه یا قانون خود مختص اول زوجهای مرتب را به مختص دوم آنها پیوند می‌دهد مانند رابطه پدر و فرزندی رابطه مالک و مستأجری رابطه عبد و مولا رابطه اعداد با مجذور آنها.

مفهوم تابع: تابع بیانگر چگونگی ارتباط مقدار یک کمیت(متغیر وابسته y= ) به مقدار یک کمیت دیگر( متغیر مستقل x= ) است مفهومی که خواص آن، انواع آن، نمودار‌ آن حد و پیوستگی آن؛ مشتق و انتگرالگیری از آن و… نه تنها در ریاضیات بلکه درهمه علوم و فنون نقش مهمی ایفا می‌کند و در زندگی خود نیز به  نمونه‌هایی برمی‌خوریم که مقدار یک کمیتی( کمیت تابع) به مقدار کمیت دیگری( کمیت آزاد) وابسته است؛

مثال: متغیرهای وابسته (y) و متغیرهای مستقل(x) را در مثالهای زیر مشخص کنید:

افزایش طول یک فنر به وزنه‌ای که به آن آویزان می‌شود بستگی دارد.

جواب: « افزایش طول فنر» = متغیر وابسته(y ) و « مقدار وزنه» = متغیر آزاد (x)

»هر که بامش بیش، برفش بیشتر»

جواب:« مقدار برف انباشته‌شده روی پشت‌بام» = متغیر وابسته(y ) و« مساحت پشت‌بام»= متغیر آزاد

مقدار مکعب هر عددی به آن عدد وابسته است.

جواب: مکعب عدد«= متغیر وابسته(y ) و « خود عدد»= متغیر مستقل(x )

تذکر: با توجه به اینکه هر تابع یک رابطه است( عکس این مطلب درست نیست یعنی هر رابط ممکن است تابع نباشد.

تعریف تابع:

 اگر رابطهf بصورت مجموعه زوجهای مرتب باشد آنگاه رابطه f را تابع گویندهرگاه هیچ دوزوج مرتب متمایزی در f دارای مؤلفه‌های اول یکسان نباشند یعنی:

                                                        یا

مثال: اگر  و  باشد کدامیک از رابطه‌های زیر یک تابع از A در B است.

( تابع ثابت)                                                                       

* دوزوج متمایز نیستند.                                   

 زیرا                              

مثال: اگر روابط زیر تابع باشند مقادیر متغیر x را بیابید:

تذکر:

* اگر رابطه f بصورت نمودار پیکانی باشد آنگاه رابطه f را تابع گویند هرگاه به هر x متعلق به دامنه f فقط‌وفقط یک مقدار y متعلق به برد f را نسبت داد به عبارت دیگر از هر عضو دامنه فقط‌وفقط یک پیکان به عضو متناظرش در برد خارج شود.

تذکر:

اگر رابطه f بصورت نمودار مختصاتی باشد آنگاه رابطه f را تابع گویند هرگاه هیچ  دونقطه‌ای f روی یک خط موازی با محور y واقع نشوند به عبارت دیگر هر خط موازی محور yها نمودار f را حداکثر در یک نقطه قطع کند.