می دانیم که هر نقطه در صفحه دارای دو مولفه طول و عرض است و بصورت دوتایی مرتب نمایش می دهند. حال تجربه می کنیم که هر نقطه در فضا دارای سه مولفه است و بصورت سه تایی مرتب نمایش می دهند.
دستگاه فضایی شامل سه محور ox و oy و oz به ترتیب محور xها، yها و zها می باشد. این دستگاه را دستگاه راستگرد می نامند.
صفحات مختصات:
هر صفحه مختصات شامل دو محور است و بصورت زیر می باشد.
الف) صفحه xoy شامل دو محور ox و oy است
ب) صفحه xoz شامل دو محور ox و oz است.
ج) صفحه zoy شامل دو محور oy و oz است.
مشحص کردن نقطه در فضای سه بعدی:
برای اینکه نقطه A(x,y,z) را بتوانیم در فضای R3 مشخص کنیم مراحل زیر را طی می کنیم.
الف) نقطه (x,y) را در صفحه x,y مشخص می کنیم.
ب) پس به اندازه Z به موازات محور Zها حرکت می کنیم که اگر باشد به سمت بالا و اگر باشد به سمت پایین حرکت می کنیم.
مثال: نقاط و و در فضای R3 نمایش دهید.
مکان هندسی محورها و صفخات مختصات
می توانیم محورهای مختصات و صفحات مختصات را بصورت مکان هندسی های زیر معرفی کنیم چون هر محور یا هر صفحه مجموعه نقاطی از فضا یا صفحه می باشند که دارای ویژگی مشترکی هستند پس می توان بصورت مکان هندسی آنها را معرفی کرد
محور xها یا محور xها
محور yها یا محور yها
محور zها یا محور zها
صفحه xoy یا صفحه xoy
صفحه xoz یا صفحه xoz
صفحه yoz یا صفحه yoz
فاصله دو نقطه و وسط پاره خط AB در فضای R3
اگر و دو نقطه در فضای R3 باشد آنگاه برای بدست آوردن طول پاره خط AB و مختصات نقطه M وسط پاره خط AB از فرمول زیر استفاده می کنیم:
مثال: اگر نقاط مختصات سه رأس مثلث باشند آنگاه طول میانه AM را بیابید.
قرینه بک نقطه نسبت به یک نقطه دیگر:
اگر بخواهیم قرینه نقطه A را نسبت به نقطه M بدست آوریم باید مراحل زیر را انجام دهیم.
1-A را به M وصل می کنیم و به اندازه خودش امتداد می دهیم.
2-پس می توانیم فرمول زیر را برای محاسبه مختصات نقاط بدست آوریم.
مثال: قرینه نقطه را نسبت به نقطه بدست آورید.
مثال: فرینه نقطه نسبت به وسط پاره خط واصل بین دو نقطه بدست آورید.
مثال: اگر یک رأس مثلث ABC باشد و پای میانه CM باشد و نقطه مرکز ثقل مثاث باشد، طول ضلع BC را بیابید.
تصور یک نقطه نسبت به محورهای مختصات و صفحات مختصات:
اگر نقطه نقطه ای کاملاً دلخواه در فضای R3 باشد برای بدست آوردن تصویر A نسبت به محورها و صفحات مختصات از فرمولهای زیر استفاده می کنیم.
تصویر نسبت به محور xها (1
تصویر نسبت به محور yها (2
تصویر نسبت به محور zها (3
تصویر نسبت به صفحه xoyها (4
تصویر نسبت به صفحه xozها (5
تصویر نسبت به صفحه yozها (6
تذکر: برای بدست آوردن تصویر یک نقطه روی یک محور مختصات باید مولفه مربوط به آن محور را حفظ کنیم و دیگر مولفه ها را صفر کنیم.
برای بدست آوردن تصویر یک نقطه روی یکی از صفحات مختصات باید مولفه های مربوط به آن صفحه را حفظ می کنیم و مولفه دیگر را حفظ کنیم.
(نکته مهم)
اگر بخواهیم فاصله یک نقطه را تا یک محور مختصات بدست آوریم همان فاصله آن نقطه از تصویرش روی آن محور می باشد. پس با توجه به ایت نکته می توانیم فرمولهای زیر را برای استفاده فاصله نقطه از محور بدست آوریم.می دانیم که هر نقطه در صفحه دارای دو مولفه طول و عرض است و بصورت دوتایی مرتب نمایش می دهند. حال تجربه می کنیم که هر نقطه در فضا دارای سه مولفه است و بصورت سه تایی مرتب نمایش می دهند.
دستگاه فضایی شامل سه محور ox و oy و oz به ترتیب محور xها، yها و zها می باشد. این دستگاه را دستگاه راستگرد می نامند.
صفحات مختصات:
هر صفحه مختصات شامل دو محور است و بصورت زیر می باشد.
الف) صفحه xoy شامل دو محور ox و oy است
ب) صفحه xoz شامل دو محور ox و oz است.
ج) صفحه zoy شامل دو محور oy و oz است.
مشحص کردن نقطه در فضای سه بعدی:
برای اینکه نقطه A(x,y,z) را بتوانیم در فضای R3 مشخص کنیم مراحل زیر را طی می کنیم.
الف) نقطه (x,y) را در صفحه x,y مشخص می کنیم.
ب) پس به اندازه Z به موازات محور Zها حرکت می کنیم که اگر باشد به سمت بالا و اگر باشد به سمت پایین حرکت می کنیم.
مثال: نقاط و و در فضای R3 نمایش دهید.
مکان هندسی محورها و صفخات مختصات
می توانیم محورهای مختصات و صفحات مختصات را بصورت مکان هندسی های زیر معرفی کنیم چون هر محور یا هر صفحه مجموعه نقاطی از فضا یا صفحه می باشند که دارای ویژگی مشترکی هستند پس می توان بصورت مکان هندسی آنها را معرفی کرد
محور xها یا محور xها
محور yها یا محور yها
محور zها یا محور zها
صفحه xoy یا صفحه xoy
صفحه xoz یا صفحه xoz
صفحه yoz یا صفحه yoz
فاصله دو نقطه و وسط پاره خط AB در فضای R3
اگر و دو نقطه در فضای R3 باشد آنگاه برای بدست آوردن طول پاره خط AB و مختصات نقطه M وسط پاره خط AB از فرمول زیر استفاده می کنیم:
مثال: اگر نقاط مختصات سه رأس مثلث باشند آنگاه طول میانه AM را بیابید.
قرینه بک نقطه نسبت به یک نقطه دیگر:
اگر بخواهیم قرینه نقطه A را نسبت به نقطه M بدست آوریم باید مراحل زیر را انجام دهیم.
1-A را به M وصل می کنیم و به اندازه خودش امتداد می دهیم.
2-پس می توانیم فرمول زیر را برای محاسبه مختصات نقاط بدست آوریم.
مثال: قرینه نقطه را نسبت به نقطه بدست آورید.
مثال: فرینه نقطه نسبت به وسط پاره خط واصل بین دو نقطه بدست آورید.
مثال: اگر یک رأس مثلث ABC باشد و پای میانه CM باشد و نقطه مرکز ثقل مثاث باشد، طول ضلع BC را بیابید.
تصور یک نقطه نسبت به محورهای مختصات و صفحات مختصات:
اگر نقطه نقطه ای کاملاً دلخواه در فضای R3 باشد برای بدست آوردن تصویر A نسبت به محورها و صفحات مختصات از فرمولهای زیر استفاده می کنیم.
تصویر نسبت به محور xها (1
تصویر نسبت به محور yها (2
تصویر نسبت به محور zها (3
تصویر نسبت به صفحه xoyها (4
تصویر نسبت به صفحه xozها (5
تصویر نسبت به صفحه yozها (6
تذکر: برای بدست آوردن تصویر یک نقطه روی یک محور مختصات باید مولفه مربوط به آن محور را حفظ کنیم و دیگر مولفه ها را صفر کنیم.
برای بدست آوردن تصویر یک نقطه روی یکی از صفحات مختصات باید مولفه های مربوط به آن صفحه را حفظ می کنیم و مولفه دیگر را حفظ کنیم.
(نکته مهم)
اگر بخواهیم فاصله یک نقطه را تا یک محور مختصات بدست آوریم همان فاصله آن نقطه از تصویرش روی آن محور می باشد. پس با توجه به ایت نکته می توانیم فرمولهای زیر را برای استفاده فاصله نقطه از محور بدست آوریم.
= فاصله A تا مبداء
فاصله نقطه A تا محور xها
= فاصله نقطه A تا محور yها
= فاصله نقطه A تا محور zها
مثال: فاصله نقطه تا محورهای مختصات را بدست آورید.
مثال: فاصله یک نقطه از محورهای ox، oy، oz به ترتیب 3، 2 و است. فاصله این نقطه تا مبداء را بیابید.
مثال: فاصله نقطه تا محورهای مختصات را بیابید.
مثال: تصویر نقطه را نسبت به محور yها بدست آورید و بنامید. سپس تصویر A را نسبت به صفحه XOZ بیابید و بنامید و در آخر تصویر وسط را نسبت به صفحه xoy بیابید.
قرینه یک نقطه نسبت به محورهای مختصات و صفحات مختصات:
برای بدست آوردن قرینه یک نقطه مانند نسبت به محورها و صفحات مختصات باید از فرمولهای زیر استفاده کنیم.
قرینه نقطه A نسبت به محور xها (1
قرینه نقطه A نسبت به محور yها (2
قرینه نقطه A نسبت به محور zها (3
قرینه نقطه A نسبت به صفحه xoyها (4
قرینه نقطه A نسبت به صفحه yozها (5
قرینه نقطه A نسبت به صفحه xozها (6
تذکر مهم:
برای بدست آوردن قرینه یک نقطه نسبت به هر محور یا هر صفحه مختصات باید مولفه یا مولفه های مربوط به آن محور یا صفحه را حفظ کند و مولفه دیگر را قرینه کند.
مثال: اگر نقطه و قرینه یکدیگر نسبت به محور xها باشد حامل را بیابید.
مثال: اگر قرینه نقطه نسبت به محور xها باشد و قرینه نقطه A نسبت به صفحه xoz باشد و تصویر A نسبت به صفحه xoy باشد نوع مثلث را مشخص کنید.
مثال: نقطه ای روی محور yها تعیین کنید که فاصله اش از نقطه برابر 10 باشد.
مثال: مقدار a را طوری تعیین کنید که فاصله نقطه از محور Zها برابر باشد.
مثال: دو نقطه و مفروضند a و b را طوری تعیین کنید که این دو نقطه نسبت به محور xها قرینه یکدیگر باشند.