دانلود تحقیق کلیات معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی

1-مقدمه

یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی (یا نسبی) برای یک تابع  رابطه‌ای است که بین تابع مجهول u و متغیرهای مستقل آن (به تعداد متنابهی) و مشتقات جزئی تابع u نسبت به متغیرهای مستقل آن برقرار می‌باشد. تابع u را جوابی برای معادله دیفرانسیل فوق مینامیم هرگاه پس لز جایگزینی u(x,y,...) و مشتقات جزئی آن، این معادله دیفرانسیل نسبت به متغیرهای مستقل مذکور، درناحیه  ای از فضای این متغیرهای مستقل تبدیل به یک اتحاد شود.

مرتبه یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی بالاترین مرتبه مشتقات موجود در آن معادله است. مثلاً uuxy+uyux=f(x,y) یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم است. در اینجا   و  و

یک معادلعه دیفرانسیل با مشتقات جزئی را خطی[1] گوئین هرگاه این معادله نسبت به تابع مجهول و مشتقات آن، با ضرایبی که فقط تابع متغیرهای مستقل هستند، خطی باشد. یک معادله با مشتقات جرئی از مرتبه m را شبه خطی[2] گوئیم هرگاه این معادله نسبت به مشتقات جزئی مرتبه mام تابع مجهول، با ضرایبی که فقط تابع متغیرهای مستقل u و مشتقات از مرتبه کمتر از m هستند، خطی باشد (مانند مثال بالا) یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی خطی یک حالت خاص معادله شبه خطی است.

2- معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه اول

معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه اول خطی با ضرایب ثابت

به عنوان گام نخست معادلع دیفرانسیل  (2-1) aux+buy+cu=f(xy) را درنظر می‌گیریم، که در آن تابع f داده شده و ضرایب ثابت‌اند. سعی می‌کنیم با تغییر متغیرهای ساده مانند (2-2) x=ay+a1 و y=by+b1 معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی (2-1) را به معادله دیفرانسیل )uy+cu=f(ay+a1 , by +b1 تبدیل کنیم که مانند یک معادله دیفرانسیل معمولی خطی مرتبه اول با ضرایب ثابت نسبت به متغیر مستقل y حل می‌شود، منتها ثابت انتگرالگیری تابع دلخواهی از  خواهد بود. بعد از حل بجای y و  برحسب x و y جانشین می‌کنیم تا جواب u(x,y) حاصل شود البته لازمه این کار آنست که دترمیبنال ضرایب تغییر متغیرهای (2-C) غیرصفر باشد، سعنی مستقل بودن این متغیرها تضمین شود (این دترمینال ژاکوبی تغییر متغیرها است)

مثال ا

قضیه زیر یک روش حل معادله با مشتقات جزئی مرتبه اول شبه خطی را پیش روی ما میگذارد که فعلاً از بیان آن خودداری می‌کنیم.

قضیه 1 جولب عمومی معادلع دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه اول شبه خطی (2-3) P(x,y,u)ux+Q(x,y,u)uy=R(x,y,u) به صورت W=F(v) است که در آن F تابعی دلخواه است و V(x,y,u)=c1و W(x,y,u) جواب عمومی در معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه اول (2-4)  میباشد.

مثال 2: جواب عمومی معادله uux+yuy=x را بیابید

حل دستگاه دو معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه اول از روابط  بدست می‌آیند

مثال 1. معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه اول خطی زیر را حل کنید.

حل. ابتدا با تغییر متغیرهای  و  معادله دیفرانسیل فوق را تبدیل می‌کنیم به صورت

اکنون یک دستگاه تغییر متغیرهای دیگری بکار می بریم به صورت و که در آن  ثابت فرض می‌شود، تا اینکه متغیرهای s و t مستقل باشند. از اینجا نتیجه می‌شود

که در آن  تابع دلخواه ولی مشتق پذیر است.

در حالت خاص  داریم

3.طبقه بندی معادلات با مشتقات جزئی مرتبه دوم نیمه خطی[3]

در این بخش خانواده معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه دوم نیمه خطی با دو متغیر مستقل بصورت

                                 (3-1)

را درنظر می‌گیریم که در آن  تنها توابعی از x و y فرض می‌شوند. این معادله را در نقطه   از نوع هذلولیگون[4]، سهمیگون[5]، و یا بیضیگون[6] گوئیم هرگاه عبارت  به ترتیب مثبت، صفر، و یا منفی باشد. معادله (3-1) را در یک ناحیه از صفحه xy از نوع هذلولیگون، سهمیگرون، و یا بیضیگون گ.ئیم هرگاه عبارت مذکور در سراسر آن ناحیه به ترتیب مثب، صفر، و یا منفی باشد.

اکنون تبدیل مختصات  به صورت  و  را به قسمی جستجو می‌کنیم که معادله دیفرانسیل (3-1) را ساده تر نموده و در صورت امکان به طور صریح حل پذیر نماید. فرض می کنیم تین تبدیل دارای عکس بوده و توابع  و  دارای مشتقات جرئی پیوسته تا مرتبه دوم باشند. در این صورت  و

به دست می آید که در آن

و F* تابعی از  و  و  نیست، اگر معادله دیفرانسیل (3-1) خطی باشد، آنگاه معادله دیفرانسیل (3-2) نیز خطی خواهد بود.

اگر بتوان مختصات جدید را طوری انتخاب نمود که  صفر شود، آنگاه معادله جدید (3-2) ساده تر خواهد شد. در این رابطه لم زیر را بیان می‌کنیم و اثبات آنرا به خاطر سادگی به خواننده واگذار می‌کنیم.